课时作业36 用二分法求方程的近似解
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点．根据图象得函数f(x)有3个变号零点．故选D.
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( A ) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A ) A．[－2,1] C．[0,1]
B．[－1,0] D．[1,2]
解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．故选A.
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区2＋4间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( B )
2
A．(2,4) B．(2,3) C．(3,4) D．无法确定
解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
1?x－25．设函数y＝x2与y＝??2?的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( B ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 1?x－2解析：令f(x)＝x2－??2?， 1?1－2因f(1)＝1－??2?＝1－2<0， 1?0f(2)＝22－??2?＝4－1>0， 故x0∈(1,2)，故选B. 二、填空题
6．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝－2.25.
解析：(1,4)的中点为2.5. f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003 f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得方程 3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取1.562_5. 解析：由f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.562 5.
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称4次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡；则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
三、解答题
9．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解， 设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0， 所以x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0， 所以x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0， f(1.125)·f(1.25)<0， 所以x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0， f(1.187 5)·f(1.25)<0， 所以x0∈(1.187 5,1.25)，
因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1， 所以1.187 5可作为这个方程的实数解．
——能力提升类——
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
0.1
解析：由n<0.01，得2n>10，
2所以n的最小值为4，故选B.
11．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.375) ＝－0.260 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
f(1.5)＝0.625 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.25)＝－0.984 f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( C ) 解析：依据题意，因为f(1.375)＝－0.260， 且f(1.437 5)＝0.162，
故可取[1.375,1.437 5]内任一数值作为近似解． 又由题意，近似解精确到0.1， 故方程的一个近似解为1.4，故选C. 12．已知x0是函数f(x)＝2x＋f(x1)<0，f(x2)>0.
1
证明：∵f(x)＝2x＋，
1－x
∴f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∴设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 ∴f(x1)－f(x2)＝(2x1－2 x2)＋?1－x－1－x? 12??＝(2 x1－2 x2)＋ <0， ?1－x1??1－x2? x1－x2 1 的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，求证：1－x ∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 同理可得f(x)在(－∞，1)上也是增函数． 又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)<0，f(x2)>0.
2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解课时作业含解析人教A版必修一
