第五讲：类比探究综合
? 课前预习
1. 小明同学碰到如下问题：
如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG > BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是
AE的中点．
（1）探究线段MD，MF的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D， C，G三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中 得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． （2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方 形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一直 线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否 发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：
BAMDC图1GFE延长DM，交EF于点H（平行夹中点）△ADM≌△EHMDM=MH，AD=EHFD=FH，∠DFH=90°等腰Rt△DFH，M为DH中点MD⊥MF，MD=MFABDFMC
仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？
2. ①如图，在△ABC中，AF:FB=2:3，延长BC至点D，使得BC=2CD，则
BCADG图2EFMEG图3AE=_________． EC提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A型”或“X型”相似是我们常用的一种做法．
AFEBCD
②如图，AB=4，射线BM和AB相互垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（ ）
12xA．y??
x?4A2xB．y??
x?1D3xC．y?? Fx?18xBD．y?? CMEx?4提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．
? 知识点睛
类比探究问题的处理思路
1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行
结构．
2. 若不属于常见结构类型：
①根据题干条件，结合_______________先解决第一问． ②类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找______________．
③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．
? 精讲精练
1. 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________．
（2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． （3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
A(P)DAB图1ADQ2. P
DCQBCBEC图2ADPADQB图3CBC已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B，C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M． （1）如图1，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是__________． （2）如图2，当AC=BC，点P在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
AC5（3）如图3，若?，点P在线段CB的延长线上时，CM=2，AP=13，求△ABP的
BC2面积．
AQMC图1PB
ACQM图2BP
ACMQBP图3
3. （1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空： ①∠AEB的度数为___________；
②线段AD，BE之间的数量关系为___________．
CEDA图1B
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=
∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
CEMDA图2（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
B
ADB图3C
2020年中考专题复习 第五讲：类比探究综合 讲义设计
