2017年上海交通大学冬令营数学试题
90分钟答题时间
一、 填空题（每小题5分，共50分）
1． 设函数f?x?满足2f?3x??f?2?3x??6x?1，则f?x??_______________． 2．设a,b,c均为实数，且3a?6b?4，则
11??_______________． ab3．设a?0且a?1，则方程ax?1??x2?2x?2a的解的个数为_______________． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________． 5． 1?1!?2?2!?3?3!?L?n?n!?_______________．
6．设不等式x?x?1??y?1?y?与x?y?k的解集分别为M与N．若MüN，则k22的最小值为_______________． 7．设函数f?x??x2n?1，则S?1?2f?x??3f?x??Lnf?x??_______________． x25，则28．设a?0，且函数f?x???a?cosx??a?sinx?的最大值为
a?_______________．
9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________．
10．已知函数f1?x??2x?1，对于n?N*定义fn?1?x??f1?fn?x??，若x?1f35?x??f5?x?，则f28?x??_______________．
二、计算与证明题（每小题10分，共50分）
1．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r?10mm，
h?4mm时，R的值．
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h
2．设函数f?x??sinx?cosx，试讨论f?x?的性态（有界性、奇偶性、单调型和周期性），求其极值，并作出其在?0,2??内的图像．
3．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x?y上，试求AB的中点M到y轴的最短距离此时M点的坐标．
2
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4．设f?x???1?a?x?x??3a?2?x?4a，试证明对任意实数a：
432（1）方程f?x??0总有相同实根； （2）存在x0，恒有f?x0??0．
5．已知等差数列?an?是首项为a，公差为b，等比数列?bn?的首项为b，公比为a，
n?1,2,3,L，其中a,b均为正整数，且a1?b1?a2?b2?a3．
（1）求a的值；
（2）若对于?an?，?bn?，存在关系式am?1?bn，试求b的值； （3）对于满足②中关系式的am，试求S?a1?a2?L?am的值．
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