3． 权的最小平方法
这种方法也是把各目标的重要性作成对比较，如把第i个目标对第j个目标的相对重要性的估计值记作aij（i,j?1,2,?,n），并近似的认为就是这两个目标的权重wi和wj的比wiwj。如果决策人对aij（i,j?1,2,?,n）的估计一致，则
aij?wiwj，否则只有aij?wiwj，即aijwj?wi?0。可以选择一组权
{w1,w2,?,wn}，使
Z???(aijwj?wi)2
i?1j?1nn为最小，其中wi（i?1,2,?,n）满足?wi?1，且wi?0。
i?1n如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：
L???(aijwj?wi)?2?(?wi?1) (13.4.12)
2i?1j?1i?1nnn将上式对wk微分，得到：
nn?L??(aikwk?wi)aik??(akjwj?wk)???0，k?1,2,?wki?1j?1,n (13.4.13)
式（13.4.13）和?wi?1构成了n+1个非齐次线性方程组，有n+1个未知数，可
i?1n求得一组唯一的解。式（13.4.13）也可写成矩阵形式：
Bw?m （13.4.14）
式中
w?(w1,w2,?,wn)T，m?(??,??,?,??)T
?n2ai1?n?2a11??i?1???(a?a)2112B???????(an1?a1n)??4． 强制决定法
?(a12?a21)?ai2?n?2a22i?1n(?an2?a2n)??(a1n?an1)????a2n?an2??? ??n??ain?n?2ann??i?1?此法要求把各个目标两两进行对比。两个目标比较，重要者记1分，次要者记
0分。现举一例以说明之。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下（表13.7）。其中打分所用列数为15（如目标数为n，则打分所用列数为
n(n?1)）。在每个列2内只打两个分，即在重要的那个目标行内打1分，次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。
表中总分列为各目标所得分数之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。
表13.7 高度计设计方案选优决策中权重的计算
目 标 重 要 性 得 分 1 0 0 0 总 分 3 5 4 1 0 2 15 修正 总分 4 6 5 2 1 3 21 权 重 0.129 0.286 0.048 0.143 0.095 0.238 1.000 灵 敏 度 0 0 1 1 1 可靠性 体 积 外 观 成 本 合 计 1 0 耐冲击性 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 13.5 层次分析法（AHP）
层次分析法（AHP）是本世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。它本质上是一种决策思维方式，基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和若干要素，在各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不
同备选方案的权重。
应用层次分析法的步骤如下：
① 对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构模型；
② 对同一等级（层次）的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评
定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵； ③ 确定各要素的相对重要度；
④ 综合相对重要度，对各种替代方案进行优先排序，从而为决策者提供科学
决策的依据。
13.5.1 多级递阶结构
用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。方案层即解决问题的方案。
层次结构往往用结构图形式表示，图上标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构（如图13.4）。如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全
目 标 目标层A
准则1 准则层C
准则2 准则3 方案层P
方案1 方案2 方案1 图13.4 递阶层次结构
独立性结构。也有由上述两种结构结合的混合结构。
例13.4 某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究，制定出三种可供选择的方案：
A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马路； A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横道； A3：搬迁商场。
试用决策分析方法对三种备选方案进行选择。这是一个多目标决策问题。在改变闹
市区交通环境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选择标准：
C1：通车能力；
C2：方便过往行人及当地居民； C3：新建或改建费用不能过高； C4：具有安全性；
C5：保持市容美观。其层次结构如图13.5所示。 递阶层次结构建立的合适与否，对于问题的求解起着关键的作用。但这在很大
改变闹市区交通环境（G）
通
车能力C1
方便市民C2
改建费用
安全性C4
C3
市容美观C5
天桥A1
地道A2
搬迁A3
图13.5 改善市区交通环境的层次结构
程度上取决于决策者的主观判断。这就要求决策者对问题的本质、问题所包含的要素以及相互之间的逻辑关系要有比较透彻地理解。
13.5.2 判断矩阵
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。 1） 建立判断矩阵
设对于准则H，其下一层有n个要素A1，A2，…，An。以上一层的要素H作为判断准则，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式如下：
H A1 A2 … Ai … An A1 a11 a21 … ai1 … an1 A2 a12 a22 … ai2 … an2 … … … … … … … Aj a1j a2j … aij … anj … … … … … … … An a1n a2n … ain ann aij表示以判断准则H的角度考虑要素Ai对Aj的相对重要程度。若假设在准则H下
T要素A1，A2，…，An的权重分别为w1,w1,….,wn,即W?(w1,w2,...,wn)，则
aij?wi。矩阵 wj?a11?aA??21????an1?a1n?a22?a2n?? （13.5.1） ?????an2?ann?a12称为判断矩阵。
2） 判断尺度
判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表13.8所示。
表13.8 判断尺度的取值
判断 定义 尺度 尺度 判断 定义
多目标决策
