定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形; 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角; 中2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点线 分这个边的对角),那么这个三角形是等腰与底边两端点距离相等。 三角形 角1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边; 平2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点分到底边两端点的距离相等。 线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边; 高2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和线 底边两端点距离相等。 角 边 等边对等角 底的一半<腰长<周长的一半 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形; 2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形; 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 等角对等边 两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
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第十章 四边形
考点一、四边形的相关概念 (3分) 1、四边形
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。 2、凸四边形
把四边形的任一边向两方延长,如果其他个边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线
在四边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。 4、四边形的不稳定性
三角形的三边如果确定后,它的形状、大小就确定了,这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后,它的形状不能确定,这就是四边形所具有的不稳定性,它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。 四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。
推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n?2)?180°; 多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。 6、多边形的对角线条数的计算公式
设多边形的边数为n,则多边形的对角线条数为
n(n?3)。 2考点二、平行四边形 (3~10分) 1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。 2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补,对角相等。 (2)平行四边形的对边平行且相等。
推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 (3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah 考点三、矩形 (3~10分) 1、矩形的概念
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有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质 (2)矩形的四个角都是直角 (3)矩形的对角线相等 (4)矩形是轴对称图形 3、矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形 (3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab
考点四、菱形 (3~10分) 1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质 (2)菱形的四条边相等
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 (4)菱形是轴对称图形 3、菱形的判定
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 考点五、正方形 (3~10分) 1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 (2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角 (4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种: 先证它是矩形,再证有一组邻边相等。 先证它是菱形,再证有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下: 先证明它是平行四边形; 再证明它是菱形(或矩形); 最后证明它是矩形(或菱形) 4、正方形的面积
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设正方形边长为a,对角线长为b
b2S正方形=a?
22考点六、梯形 (3~10分) 1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地,梯形的分类如下: 一般梯形
梯形 直角梯形 特殊梯形
等腰梯形 2、梯形的判定
(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 (2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、等腰梯形的性质
(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。 (3)等腰梯形的对角线相等。
(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定
(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积
(1)如图,S梯形ABCD?1(CD?AB)?DE 2(2)梯形中有关图形的面积: ①S?ABD?S?BAC; ②S?AOD?S?BOC; ③S?ADC?S?BCD
6、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
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第十一章 解直角三角形
考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=
1AB 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD= D为AB的中点 4、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a?b?c 5、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90° CD2?AD?BD
? AC2?AD?AB
CD⊥AB BC2?BD?AB 6、常用关系式
由三角形面积公式可得: AB?CD=AC?BC
考点二、直角三角形的判定 (3~5分)
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系a?b?c,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC中,∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,即
2222221AB=BD=AD 2sinA??A的对边a?
斜边c②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,即
cosA??A的邻边b?
斜边c?A的对边a?
?A的邻边b③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA,即tanA?
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初中数学知识点总结(北师大)[1]
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