课时作业(七十) 高考解答题专题突破(六)
概率与统计的综合问题
1．(2015·潍坊模拟)某单位有车牌尾号分别为0,5,6的汽车各一辆，分别记为A，B，
C.已知在非限行日，根据工作需要每辆车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车
221
的概率依次为，，，且A，B，C三车出车相互独立；在限行日，不能出车．该地区汽车
332限行规定如下：
车牌尾号 限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五 (1)求该单位在星期四恰好出车两台的概率； (2)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望．
解：(1)设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，C车在星期i出车的事件为Ci.
设该单位在星期四恰好出车两台的事件为D， 所以P(D)＝ P(A4B4C4)＋P(A4B4C4)＋P(A4B4C4) 2212111214＝××＋××＋××＝. 3323323329(2)X的可能取值是0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(C1)·P(A2B2)＝××＝；
P(X＝1)＝P(C1)P(A2B2)＋P(C1)P(A2B2)＋P(C1)P(A2B2)
1111211125＝××＋××＋××＝； 23323323318
111123318
P(X＝2)＝P(C1)P(A2B2)＋P(C1)P(A2B2)＋P(C1)P(A2B2)
12212111284＝××＋××＋××＝＝； 233233233189
P(X＝3)＝P(C1)P(A2B2)＝××＝＝.
所以X的分布列为 12223342189
X P 0 1 181 5 182 4 93 2 9 1
158411
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
181818186
2．(2015·临沂一模)某工厂生产A，B两种元件，已知生产A元件的正品率为75%，生产B元件的正品率为80%，生产1个元件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个元件B，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元．
(1)求生产5个元件A所得利润不少于140元的概率；
(2)设X为生产1个元件A和1个元件B所得总利润，求X的分布列和数学期望． 解：(1)解法一：由题意知，生产5个元件A，若全为正品则所得利润为250元； 若4个为正品，1个为次品，所得利润为4×50－10＝190元； 若3个为正品，2个为次品，所得利润为3×50－2×10＝130元．
由此可知生产5个元件A，若5个全为正品或4个为正品时，所得利润不少于140元． 记“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A，
?3?41?3?5814
则P(A)＝C5×??×＋??＝. ?4?4?4?128
解法二：设生产的5个元件A中有正品n个， 由题意得50n －10(5－n)≥140， 19
解得n≥，所以n＝4或n＝5.
6
设“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A，
?3?41?3?5814
则 P(A)＝C5×??×＋??＝. ?4?4?4?128
(2)随机变量X的所有可能取值为90,45,30，－15. 343
且P(X＝90)＝×＝；
455
P(X＝45)＝×＝； P(X＝30)＝×＝； P(X＝－15)＝×＝，
则随机变量X的分布列为 14
115201445
15
3145320
X P 90 3 545 3 2030 1 5－15 1 203311则E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66.
520520
3．(2015·淄博模拟)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获
2
21
胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，33假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望
E(X)．
解：(1)设甲队获胜为事件A，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．
设甲队以4∶2获胜为事件A1，
?2?416
则P(A1)＝??＝；
?3?81
设甲队以4∶3获胜为事件A2， 1?2?32641
则P(A2)＝C4××??×＝，
3?3?32431664112
则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 81243243(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7.
P(X＝4)＝??2＝；
3
P(X＝5)＝C1； 2×××＝
24P(X＝6)＝C1； 3××??×＋??＝
3?3?3?3?81
?1???
19
13113
2133427
?2??2???
1?2?28
3
P(X＝7)＝C1. 4××??＝3
32
81
则X的分布列为 X P 19
427
2881
4 1 95 4 276 28 817 32 81E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝
32488. 8181
4．(2015·济宁二模)袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球． (1)若有放回地取3次，每次取一个球，求取出1个红球2个黑球的概率；
(2)若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分ξ的分布列和数学期望．
解：(1)从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红
3
34
球的概率为，取出黑球的概率为，设事件A＝“取出1个红球，2个黑球”，则
77
2
P(A)＝C1＝3??·??＝3××
77
?3??4?????
03
3716144
. 49343
(2)得分ξ的取值有四个：3,4,5,6， C3C44C3C418
P(ξ＝3)＝3＝，P(ξ＝4)＝3＝，
C735C735C3C412C3C41
P(ξ＝5)＝3＝，P(ξ＝6)＝3＝. C735C735ξ的分布列为 ξ 3 4 354 18 355 12 356 1 3521
3012
P 41812130所以E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝. 353535357
5．(2015·德州模拟)某公司招聘工作人员，有甲、乙两组题目，现有A，B，C，D四人参加招聘，其中A，B两人独自参加甲组测试，C，D两人独自参加乙组测试；已知A，B两21
人各通过的概率均为，C，D两人各自通过的概率均为.
34
(1)求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率； (2)记甲、乙两组测试通过的总人数为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)设甲组测试通过的人数多于乙组测试通过的人数为事件A，
P(A)＝××2×??2＋??2×??4?＋2××? 4344
21
33
?3????2?????3?2???
13??
2＝. 3
(2)X可取0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝??2×??2＝
34
23
?1????3???
91＝； 16×916
P(X＝1)＝2×××??2＋??2×2××＝
43
1?3?3???1???
13427
＝；
4416×924121334
34
6161
＝； 16×9144
P(X＝2)＝??2×??2＋??2×??2＋4××××＝3434
?2????2??2???
?3???
1
?1????1???
1
P(X＝3)＝??2×××2＋××2×??2＝＝；
33?3?44?4?16×936P(X＝4)＝??2×??2＝
34
则X的分布列为
4
32
?1?287
?1???
41＝. 16×936
X P 0 1 161 7 242 61 1443 7 364 1 3617617126411期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.
1624144363616×96
6．(2015·山师大附中模拟)某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A，B，C，D，E五个等级，某考场考生的两科测试的成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数； (2)已知等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分． ①求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分；
②求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望．
解：(1)因为“语言表达能力”科目中成绩为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.250＝40(人)，所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.150－0.025)＝40×0.075＝3.
(2)①由题意可得“语言表达能力”科目中成绩等级为D的频率为1－0.375－0.250－0.200－0.075＝0.100，
该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为
1
×[1×(40×0.200)＋2×(40×0.100)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.250)＋40
5×(40×0.075)]＝2.9.
②设2人成绩之和为随机变量ξ， 则ξ的所有可能取值为16,17,18,19,20. C61
P(ξ＝16)＝2＝⒑
C103C6C24
P(ξ＝17)＝2＝⒑
C1015
112
5
C6C2C213
P(ξ＝18)＝2＋2＝⒑
C10C1045C2C24
P(ξ＝19)＝2＝，
C1045C21
P(ξ＝20)＝2＝⒑
C1045所以随机变量ξ的分布列为 ξ 16 17 18 19 20 211
112
P 1 4131315 44545 45 所以E(ξ)＝16×141343＋17×15＋18×18645＋19×45＋20×45＝5.
6
高考数学大一轮复习解答题专题突破（六）概率与统计的综合问题课时作业理
