全国名校高三数学寒假优质学案、专题汇编（附详解）
函数的单调性、奇偶性、周期性专题
一、知识回顾
第一部分函数的单调性
1.定义：
一般地，设函数y?f(x)定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2该变量?x?x2?x1?0则当?y?f(x2)?f(x1)?0时，就称函数y?f(x)在区间M上是增函数，当?y?f(x2)?f(x1)?0时，就称函数y?f(x)在区间M上是减函数，
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是偶函数，就说函数在这个区间M上具有单调性.区间M称为单调区间. 2.单调性的判断: 1.定义法：
①x1,x2必须在定义域内，且给定关系x1?x2； ②作差f(x2)?f(x1)，作商
f(x2)（f(x)恒大于零，或恒小于零）； f(x1)③整理变形.（转变成因式相乘，或相除的形式）； ④定号判断f(x2)?f(x1)是否大于零，或⑤做结论.
2.图象法：从左到右看图象的走势，上升即为增函数，下降即为减函数.
3.定义变形：若(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，则说f(x)在这个区间上是增函数；
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f(x2)是否大于1； f(x1)
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若(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，则说f(x)在这个区间上是减函
数.
若若
f(x1)?f(x2)?0，则说f(x)在这个区间上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0，则说f(x)在这个区间上是减函数.
x1?x2（4）复合函数单调性判断：
y?f(g(x))，令m?g(x)，在区间(a,b)上，若m?g(x)为单调函数，
且y?f(m)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也为单调函数，则y?f(m)，
m?g(x)同增同减时，y?f(g(x))为单调递增函数；y?f(m)，m?g(x)一增一减时，y?f(g(x))为单调递减函数； 3.性质：
（1）若f(x),g(x)均为增函数（减函数）则f(x)?g(x)为增函数（减函数）.
（2）若f(x)为增函数（减函数）则?f(x)为减函数（增函数）. （3）互为反函数的两个函数单调性相同.
（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.
（5）当x?(a,b)时，f(x),g(x)为增函数（减函数）且f(x)?0,g(x)?0则
f(x)?g(x)在(a,b)内递增（减）.
（6）当x?(a,b)时，f(x)恒正（负），且f(x)为增函数（减函数）则为减函数（增函数）.
第二部分函数的奇偶性
2
1f(x)
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1.奇函数：
（1）设函数y?f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有
?x?D，且f(?x)??f(x)则这个函数叫做奇函数.
（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（3）奇函数的变式定义：对于函数y?f(x)，在它的定义域内，任意一个x如果都有f(?x)?f(x)?0或函数.
（4）奇函数f(x)定义域为R，则一定有f(0)?0. 2.偶函数：
（1）设函数y?g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有
?x?D，且g(?x)?g(x)则这个函数叫做偶函数.
f(?x)??1,(f(x)?0)，则函数f(x)叫奇f(x)（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，那么这个函数是偶函数.
（3）对于函数y?f(x)，在它的定义域内，任意一个x如果都有
f(?x)?f(x)?0或
f(?x)?1，(f(x)?0)则函数f(x)叫偶函数. f(x)（4）f(x)为偶函数?f(?x)?f(x)?f(x). 3判断函数的奇偶性： （1）定义域必须对称.
（2）整理f(?x)的形式，尤其是指数和对数. （3）确定f(?x)???f(x)偶函数??f(x)奇函数
3
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4.若奇函数f(x),g(x)的定义域的交集关于原点对称，则有f(x)?g(x)为奇函数；
f(x),(g(x)?0)为偶函数；f(x)g(x)为偶函数. g(x)若偶函数f(x),g(x)的定义域的交集关于原点对称，则有f(x)?g(x)为偶函数；
f(x),(g(x)?0)为偶函数；f(x)g(x)为偶函数. g(x)若偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域的交集关于原点对称，则有
f(x)g(x)为奇函数；f(x),(g(x)?0)为奇函数；f(x)?g(x)奇偶性不确定. g(x)5.常见结论：
ax?1（1）f(x)?x(a?0且a?1)为奇函数.
a?1（2）f(x)?loga(x?x2?1)(a?0且a?1)为奇函数. （3）f(x)?logab?x(a?0且a?1)为奇函数. b?x（4）若f(ax?b)为偶函数，有f(ax?b)?f(?ax?b);若f(ax?b)为奇函数，有f(?ax?b)??f(ax?b).
第三部分函数的周期性
1.定义：对于函数f(x)如果存在非零的常数T，使得当x取定义域内的任何数时，都有f(x?T)?f(x)那么就称f(x)为周期函数.T为f(x)的一个周期.
2.相关结论:设实数m?0，若对于函数f(x)的定义域内的任意x，恒有以下关系：
（1）f(x?m)??f(x)；（2）f(x?m)?（4）f(x?m)?11；（3）f(x?m)??； f(x)f(x)f(x)?11?f(x)；（5）f(x?m)?； f(x)?1f(x)?14
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（6）f(x?m)?f(x?m)；则f(x)是周期T?2m的周期函数. （7）f(x)?1?1(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； f(x?a)（8）f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a；
（9）若f(a?x)?f(a?x)且f(x)是偶函数，则y?f(x)是周期为2a的周期函数；
若f(a?x)?f(a?x)且f(x)是奇函数，则y?f(x)是周期为4a的周期函数
（10）若f(a?x)??f(a?x)且f(x)是偶函数，则y?f(x)是周期为4a的周期函数.
若f(a?x)??f(a?x)且f(x)是奇函数，则y?f(x)是周期为2a的周期函数.
若y?f(x)关于点（a，0），（b，0）对称，则f(x)是周期为2a?b的周期函数.
x?b（11）y?f(x)的图象关于直线x?a，（a?b）对称，则函数y?f(x)是周期为2a?b的周期函数.
（12）如果函数y?f(x)的图象有一个对称中心A(a.0)和一条对称轴
x?b,(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且周期为T?4a?b.
二、精选例题
第一部分：函数的单调性
例1.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,??)上的增函数的是（） A y?x3 B y?x?1 C y??x2?1 D
y?2?x
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