号位 封座 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班
2021学年选修1-1第二章圆锥曲线与方程
精品单元模拟试卷
圆锥曲线与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆
D．半圆
【答案】A 【解析】
，表示一个圆．
2．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，
∴双曲线的渐近线方程为，∴，得，
∴．
3．双曲线
的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的方程得到焦点为
，渐近线为
，
根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为．
4．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的右焦点为
，若
到
直线的距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由到直线的距离为，得直线的倾斜角为，∴，
即，解得，故选A．
5．曲线与曲线的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【答案】D
【解析】由双曲线，得，，
得
，∴
，
椭圆
的焦点坐标为；
由曲线可知该曲线为焦点在
轴上的椭圆， 且
，
，得
，∴
，
椭圆的焦点坐标为，
∴曲线与曲线有相同的焦点，焦距相等，
故选D． 6．抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若三角形的外接圆与
抛物线
的准线相切，且该圆的面积为，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
的外接圆与抛物线
的准线相切，
∴的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆面积为
，∴圆的半径为，
又∵圆心在
的垂直平分线上，，∴，，
故选D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支
上，点为的中点，为坐标原点，，，的面积
为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由
为
的中点，所以
，且
，
故
，
，故
，
设双曲线的焦距为，
在
中，由余弦定理可得
，
∴，
∴的面积为，
∴，，
双曲线的方程为．
8．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，
是
上
一点，且，若的面积为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】∵，∴，根据双曲线的定义可得，
，即，
∵，∴，∴
，即
，解得
．
9．若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】∵抛物线
的焦点是
，
双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合，
∴，，，∴．
10．已知平行四边形
内接于椭圆
，且直线
，
的斜率之
积的范围为
，则椭圆
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】D，B关于原点对称，设
，
，
，
∴
，
∴，∴，∴
，故选A．
11．试在抛物线
上求一点
，使其到焦点
的距离与到
的距离之和最小，则该
点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．
过点
作
于点
，
由定义可得，所以，
由图形可得，当，，三点共线时，最小，此时，
故点
的纵坐标为，所以横坐标，即点的坐标为，故选A．
12．已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别是
，
，
、
是其右支上的两支，，，则该双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】设，则，
，∴，
由
，得
，∴
，
设
，由余弦定理
，
由①，②得， 又
，∴
，
∴双曲线方程为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知
，
是椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于
，
两点，则
的周长为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆的定义，的周长．
14．已知圆
和点
，
是圆上一点，线段
的垂直平分线交
于点
，则点
的轨迹方程为_________．
【答案】
【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于
，
设点的坐标为， ∵的垂直平分线交
于点，∴
，
又
，∴，
依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以
、
为焦点的椭圆，
且
，
，∴
， 故椭圆方程为．
15．焦点为
的抛物线
的准线与坐标轴交于点
，点
在抛物线
上，则
的最
大值为 ．
【答案】
【解析】根据题意，过做与准线垂直，垂足为，如图：
设
，则
，
若取得最大值，必有取得最小值，则取得最大值，此时与抛物线相切，
设直线
的方程为，联立，消去，得，即
，
由
，解得或（舍去），
由
，
知，，
所以
的最大值为
．
16．已知抛物线
，焦点为，定点
．若点，
是抛物线
上
的两相异动点，，
不关于
轴对称，且满足
，则直线
恒过的定点的坐标
为 ．
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，焦点为，
所以，，所以，
设
，
，则
，
整理得
，所以恒有
，
直线
的方程为
，
所以过定点
．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）求下列各曲线的标准方程．
（1）实轴长为
，离心率为，焦点在轴上的椭圆；
（2）抛物线的焦点是双曲线
的左顶点．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由已知，，，∴，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为，
设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，
则，即，
所以抛物线的标准方程为．
18．（12分）设椭圆与两坐标轴的交点分别为，（），点为坐标原点，
点
满足
，
所在直线的斜率为
．
（1）试求椭圆的离心率； （2）设点
的坐标为
，
为线段
的中点，证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，（），
，知
，
由
，知
，所以
，
，
所以
．
（2）证明：由
是
的中点知，点
，所以
，
又，所以，
由（1）知
，即
，所以
，即
．
19．（12分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（1）求该双曲线的方程；
（2）如下图，点的坐标为
，
是圆上的点，点
在双曲线右支上，
求
的最小值，并求此时
点的坐标．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
故可设双曲线的方程为
（
，
），
设
，由准线方程为
，得
，
由
，得
，解得
，
，从而
，
∴该双曲线的方程为
． （2）设点
的坐标为
，则点、
为双曲线的焦点，
，所以
，
∵
是圆上的点，其圆心为，半径为，
故
，从而
，
当
，在线段上时取等号，此时
的最小值为
，
∴直线
的方程为
， 因点
在双曲线右支上，故
，
由方程组
，解得，，
所以点
的坐标为．
20．（12分）已知抛物线，，是抛物线上的两点，是坐标原点，且
．
（1）若，求的面积；
（2）设
是线段
上一点，若
与
的面积相等，求
的轨迹方程．
【答案】（1）16；（2）
．
【解析】设，，
（1）因为，又由抛物线的对称性可知，
关于
轴对称，
所以，
，
因为，所以，故
，则
，
又
，解得
或
（舍），
所以，
于是的面积为．
（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入
，得
，
，且
，
，
因为，所以，故，
则，所以或（舍），
因为
与
的面积相等，所以
为
的中点，
则点的横坐标为，纵坐标为，
故点的轨迹方程为．
21．（12分）已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线
，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于、两点，直线
与曲线交于、
两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与
、
不重合）．
（1）求曲线
的方程；
（2）当直线与圆
相切时，四边形
的面积是否有最大值？若有，求出其最大值
及对应的直线的方程；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）有，最大值为，此时直线
和直线
．
【解析】（1）设点
，由题意可得
，得
，
∴曲线
的方程是
．
（2）设，
，由条件可得
，
当
时，显然不合题意；
当
时，∵直线与圆
相切，∴
，得
，
联立
，消去
，得
，
则，
，，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时代入
，得，
经检验可知，直线
和直线符合题意．
22．（12分）已知椭圆
的一个焦点
与抛物线
的焦点重合，且
截抛物线的准线所得弦长为． （1）求该椭圆
的方程；
（2）若过点
的直线与椭圆
相交于
，两点，且点
恰为弦
的中点，求直线的
方程．
【答案】（1）
；（2）． 【解析】（1）抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
∴①，
又椭圆截抛物线的准线
所得弦长为，
∴可得上面的交点为
，∴②
由①代入②得
，解得或（舍去），
从而，∴该椭圆的方程为
．
（2）设
，
，
代入椭圆方程可得
，
， 相减可得
，
由
，
，
可得直线
的斜率为，
即直线的方程为，即为．
2021学年选修1-1第二章圆锥曲线与方程精品单元模拟试卷 数学(二) 教师版
