3.3.2 函数的极值与导数
学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．极小值点与极小值 若函数f(x)满足：
(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)； (2)f′(a)＝0；
(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝
f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值 若函数f(x)满足：
(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)； (2)f′(b)＝0；
(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝
f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？
(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？
[提示] (1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．
(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点． (2)极大值与极小值统称为极值． 4．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( ) (2)函数的极大值一定大于极小值．
( ) ( )
1
(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．
1
(4)函数f(x)＝有极值．
x ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y＝x＋1的极大值是( )
A．1 B．0 C．2 D．不存在
D [y′＝3x≥0，则函数y＝x＋1在R上是增函数，不存在极大值．] 3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x＋ax＋bx的两个极值点则有( )
【导学号：97792153】
A．a＝－2，b＝4 C．a＝1，b＝3
2
3
2
2
3
3
B．a＝－3，b＝－24 D．a＝2，b＝－4
2
B [f′(x)＝3x＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x＋2ax＋b＝0的两个根，2ab所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.]
33
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的极值 (1)已知函数f(x)＝ax＋bx＋c，其导函数f′(x)的图象如图3-3-8所示，则函数f(x)的极小值是( )
32
图3-3-8
A．a＋b＋c C．3a＋2b
(2)求下列函数的极值： 132
①f(x)＝x－x－3x＋3；
3②f(x)＝
2x－2. x＋1
2
B．3a＋4b＋c D．c
[解析] (1)由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0， 当0
(2)①函数的定义域为R，f′(x)＝x－2x－3.
2
2
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ ↗ －1 0 14极大值 3(－1,3) － ↘ 3 0 极小值－6 (3，＋∞) ＋ ↗ 14∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值＝，f(x)极小值＝
3－6.
②函数的定义域为R，
f′(x)＝
x2＋－4x2
＝－
x2＋2x－x＋
2
x＋2
. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－1) － ↘ －1 0 极小值－3 (－1,1) ＋ ↗ 1 0 极大值－1 (1，＋∞) － ↘ 由表可以看出： －2
当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
22
当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
2[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． [跟踪训练] 1．求下列函数的极值． 8(1)f(x)＝2x＋；
x3
(2)f(x)＝＋3ln x.
x8
[解] (1)因为f(x)＝2x＋，
x所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
3
f′(x)＝2－2，
x令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
8
x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ ↗ －2 0 极大值－8 (－2,0) － ↘ (0,2) － ↘ 2 0 极小值8 (2，＋∞) ＋ ↗ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值－8； 当x＝2时，f(x)有极小值8.
3
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
x3
f′(x)＝－2＋＝
xx3
x－x2，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (0,1) － ↘ 1 0 极小值3 (1，＋∞) ＋ ↗ 因此，当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值. 已知函数的极值求参数范围(值) 已知函数f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1处有极值0，求a，b的值. 【导学号：97792154】
[思路探究] f(x)在x＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f′(－1)＝0，f(－1)＝0.
[解] ∵f′(x)＝3x＋6ax＋b且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
??f∴??f?
2
322－－
＝0，＝0，
??3－6a＋b＝0，
即?2
?－1＋3a－b＋a＝0，?
2
??a＝1，
解得?
?b＝3?
??a＝2，
或?
?b＝9.?
2
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x＋6x＋3＝3(x＋1)≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；
2
4
当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数． 故f(x)在x＝－1处取得极小值． ∴a＝2，b＝9.
[规律方法] 已知函数的极值情况求 参数时应注意两点 (1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． [跟踪训练] 2．(1)函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1时有极值10，则a，b的值为( ) A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11 C．a＝－4，b＝11 D．以上都不对
C [f′(x)＝3x－2ax－b.由题意知
??f???f2
3
2
2
＝3－2a－b＝0，＝1－a－b＋a＝10，
2
??a＝3，
解得?
??b＝－3
2
??a＝－4，
或???b＝11.
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x＋1)≥0，不合题意，故a＝－4，b＝11.] 132
(2)函数f(x)＝x－x＋ax－1有极值点，求a的取值范围．
3
[解] f′(x)＝x－2x＋a，由题意，方程x－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.所以a的取值范围为(－∞，1)．
2
2
函数极值的综合应用 [探究问题] 1．如何画三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)的大致图象？
提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象和x轴一定有三个交点吗？
提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．
已知a为实数，函数f(x)＝－x＋3x＋a (1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)
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2019最新高中数学 第三章 3.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版选修1-1
