新《不等式选讲》专题解析(1)
一、14
1．已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，且
a2?2，an?12?2Sn?n?1n?N*，若对任意的n?N*，
111?????2??0恒成立，则实数?的取值范围为（ ） n?a1n?a2n?an??2 A．???，【答案】C 【解析】 【分析】
?1 B．???，?C．???，?
??1?4?D．???，?
??1?2?a2?2,an?12?2Sn?n?1 n?N*，可得n?2时，
??an?12?an2?2?Sn?Sn?1??1?2an?1，an?0．可得an?1?an?1时，
2a1?2?a22?4，解得a1．利用等差数列的通项公式可得an．通过放缩即可得出实数?的取值范围． 【详解】
Qa2?2,an?12?2Sn?n?1 n?N*，
22?n?2时，an?1?an?2?Sn?Sn?1??1?2an?1， 222化为：an?1?an?2an?1?(an?1)，an?0．
???an?1?an?1，即an?1?an?1，
2n?1时，2a1?2?a2?4，解得a1?1．
?数列?an?为等差数列，首项为1，公差为1．
?an?1?n?1?n． ?111111?????????. n?a1n?a2n?ann?1n?2n?n记bn?111111????????. ，bn?1?n?1n?2n?nn?1?1n?1?2n?1?n?1bn?1?bn?1111????0. 2n?22n?1n?1?2n?1??2n?2?1,即2所以?bn?为增数列，bn?b1?1111111??????????. n?a1n?a2n?ann?1n?2n?n2Q对任意的n?N*，
111?????2??0恒成立， n?a1n?a2n?an?2??11
，解得?? 24
1???实数?的取值范围为???，?．
4??故选C． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，2．已知f?x??x?3x，若x?a?1则下列不等式一定成立的是（ ）
2A．f?x??f?a??3a?3 C．f?x??f?a??2a?4 【答案】C 【解析】 【分析】
B．f?x??f?a??a?5 D．f?x??f?a??3a?1
??2先表示出f?x??f?a?，利用绝对值三角不等式a?b?a?b即可求解. 【详解】
，由f?x??x?3x，得f?x??f?a??(x?a)(x?a?3)，因为x?a?1所以
2(x?a)(x?a?3)?x?a?3?x?a?2a?3，由绝对值三角不等式得
x?a?2a?3?x?a?2a?3?2a?4，故f?x??f?a??2a?4一定成立.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.
3．猜测使an?n2对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值为（ ） A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合选项利用特殊值排除选项A，然后利用数学归纳法证明选项B正确即可. 【详解】
注意到当a?2,n?4时，an?n2不成立，则a?2不合题意，
B．3
C．4
D．5
当a?3时，不等式即3n?n2， 当n?1时，不等式即3?1， 当n?2时，不等式即9?4，
下面用数学归纳法证明该式对于n?N,n?3成立， 当n?3时，不等式即27?9，明显成立， 假设n?kk?3,k?N*?*?时不等式成立，即3?*k?k2,
则当n?k?1时，3k?1?3?3k?3k2， 而3k??k?1??2k?2k?1k?N222?，
2结合二次函数的性质可知，当k?2时，2k2?2k?1?2?22?2?2?1?0，
*故当k?3,k?N时，3k2??k?1??0,3k2??k?1?.
2综上可得，3n?n2对任意的n均成立. 则最小正整数a的值为3. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．若关于x的不等式x?t?2?x?t?2t?1?3t无解，则实数t的取值范围是（ ） A．??,1? 【答案】C 【解析】 【分析】
先得到当t?0时，满足题意，再当t?0时，根据绝对值三角不等式，得到
22?1??5?B．???,0? C．???,1? D．???,5 ?x?t2?2?x?t2?2t?1的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t，从而得
到关于t的不等式，解得t的范围 【详解】
关于x的不等式x?t?2?x?t?2t?1?3t无解， 当t?0时，可得此时不等式无解， 当t?0时，x?t?2?x?t?2t?12222?x?t2?2??x?t2?2t?1?
??2t?1，
所以要使不等式无解，则?2t?1?3t， 平方整理后得5t2?4t?1?0，
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式选讲》解析
