2019年全国初中数学竞赛各地初赛试卷集锦
1、2019年全国初中数学竞赛（四川赛区）初赛试卷 2、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷 3、2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷 4、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷 5、2019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷 6、2019年全国初中数学竞赛（湖北赛区）初赛试卷
2019年全国初中数学竞赛四川地区初赛试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A．42条
B．54条
C．66条
D．78条
1．解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°﹣150°＝30°， ∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°＝12，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝12×（12﹣3）÷2＝54．故选：B．
2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．
3．设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0的根是（ ） A．a，b
B．﹣a，﹣b
C．c，d
D．﹣c，﹣d
3．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab＝0， 而方程的两个根为c、d，∴c+d＝a+b+1，① cd＝ab，② 又方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝0，③
∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab＝0，（x﹣a）（x﹣b）＝0，∴x＝a，x＝b．故选：A． 4．若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|≤a有解，则实数a最小值是（ ） A．1
B．2
C．4
D．6
，∴
＜1，解得a＞6；
4．【解答】解：当x＜1，原不等式变为：2﹣2x+9﹣3x≤a，解得x≥
当1≤x≤3，原不等式变为：2x﹣2+9﹣3x≤a，解得x≥7﹣a，∴1≤7﹣a≤3，解得4≤a≤6； 当x＞3，原不等式变为：2x﹣2+3x﹣9≤a，解得x＜综上所述，实数a最小值是4．故选：C．
5．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ） A．18
B．24
C．30
D．36
，∴
＞3，解得a＞4；
5．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形， ∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，
∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8＝24个．故选：B．
6．不定方程x2﹣2y2＝5的正整数解（x，y）的组数是（ ） A．0组
B．2组
C．4组
D．无穷多组
6．【解答】解：若有解，x必为奇数，令x＝2n+1，（2n+1）2＝2y2+5，
整理得2n（n+1）＝2+y2，y为偶数，令y＝2m，2n（n+1）＝2+4m2，n（n+1）＝1+2m2， 左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选：A． 二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）
7．二次函数y＝x2﹣ax+2的图象关于x＝1对称，则y的最小值是 ． 7．【解答】解：∵对称轴x＝﹣
＝1，解得a＝2，∴二次函数为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∵二次项系数为1，图象开口向上，∴y的最小值是1．故答案为1． 8．已知△ABC中，AB＝
，BC＝6，CA＝
．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足
为D，则线段BD的长度是 ． 8．【解答】解：∵（在直角△AMC中，CA＝
）2＝62+（
）2，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．
，CM＝BC＝3，∴∠CMA＝30°，∴∠DMB＝30°，
在直角△BDM中，BD＝BM?sin∠DMB＝3×＝．故答案是：．
9．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n﹣1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分．比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 ． 9．【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下：
局，总分为100n×n﹣10n，
假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n﹣9n，女选手最高得分总和为19n×n﹣n，依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n﹣9n）：（19n×n﹣n）≤4，因女选手得分为正数，变形得：（81n×n﹣9n）≤4（19n×n﹣n）， 移项：5n（n﹣1）≤0，解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1．故答案为：1． 三、解答题（共3小题，满分70分）
10．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值．
10．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根， a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1，∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1?x2＝2a2﹣1，
而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80， ∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80，∴5a2+18a﹣99＝0，∴a＝3或﹣
，
．
当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a＝﹣
11．抛物线y＝ax2+bx+c的图象于x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且
，求解析式．
11．【解答】解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN＝90°，故∠ACN＝45°，从而C（﹣1，0），N（1，0）． 于是直线l的方程为：y＝x+1．设B（x3，y3），由S△BMN＝S△AMN，知y3＝，（10分） 从而
，即
．综上可知，该抛物线通过点A（0，1），
，N（1，0）．
于是，解得
．所以所求抛物线的解析式为y＝4x2﹣5x+1．（25分）
12．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．
12．【解答】证明：如图，连接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，∴MA＝MH＝MD，∴∠MHD＝∠MDH， ∵M，D，H，E四点共圆，∴∠HEC＝∠MDH，∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC， ∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH， ∵∠CMH＝∠HME，∴△CMH∽△HME，∴
，即MH2＝ME?MC，∴MA2＝ME?MC，
又∵∠CMA＝∠AME，∴△CMA∽△AME，∴∠MCA＝∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME＝180°， ∴A，B，H，E四点共圆，∴∠AEB＝∠AHB，
又∵AH⊥BH，∴∠AHB＝90°，∴∠AEB＝∠AHB＝90°．
2019年全国初中数学竞赛各地初赛试题(解析版)
