课时分层作业(二十) 奇偶性的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－x＋2x－3 C．f(x)＝x－2x＋3
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B．f(x)＝－x－2x－3 D．f(x)＝－x－2x＋3
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B [若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x－2x＋3，所以f(－x)＝x＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x－2x－3.故选B.]
2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
C [∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]
3．若函数f(x)＝ax＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( ) A．(－∞，0] C．(－∞，＋∞)
B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
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A [因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．]
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
C [根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.
]
?1?5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 围是( ) ?12?A.?，? ?33??12?C.?，? ?23? ?12?B.?，? ?33??12?D．?，? ?23? 1112412 A [由题意得|2x－1| 3333333二、填空题 6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. －x＋1 [∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝f(－x)＝－x＋1， 即x＜0时，f(x)＝－x＋1.] 7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________． 2 020 [由于偶函数的图象关于y轴对称， 所以f(x)在对称区间内的最值相等． 又当x∈(0，＋∞)时，f(x)最小值＝2 020， 故当x∈(－∞，0)时，f(x)最小值＝2 020.] 8．若f(x)＝(m－1)x＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 2 f(－2) 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0， ∴f(x)＝－x＋2， 2 ∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减． 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．] 三、解答题 9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式 f(1－x)＋f(1－2x)<0. [解] ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得 f(1－x)<－f(1－2x)， ∴f(1－x) 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， －1<1－x<1，?? ∴?－1<1－2x<1，??1－x>2x－1， 2 解得0 3 ?2?∴原不等式的解集为?0，?. ?3? 10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． [解] F(x)在(－∞，0)上是减函数． 证明如下： 任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1 因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2) 又因为f(x)是奇函数， 所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， 由①②得f(x2)>f(x1)>0. 于是F(x1)－F(x2)＝即F(x1)>F(x2)， 所以F(x)＝ 1 ② ① 1 fxfx2－fx1 >0， fx1·fx2 fx在(－∞，0)上是减函数． 11．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( ) 1 A．最大值－ 41 C．最小值－ 4 1 B．最大值 41 D．最小值 4 B [法一(奇函数的图象特征)：当x<0时， f(x)＝x2＋x＝?x＋?－， 2 ?? 1? 2 ? 14 1 所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数， 41 所以当x>0时，f(x)有最大值. 4法二(直接法)：当x>0时，－x<0， 所以f(－x)＝－x(1－x)． 又f(－x)＝－f(x)， ?1?12 所以f(x)＝x(1－x)＝－x＋x＝－?x－?＋， ?2?4 1 所以f(x)有最大值.故选B.] 4 12．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则( ) A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)＜f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 A [因为x2＞－x1＞0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)＜f(－x1)．又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，所以f(－x2)＜f(－x1)．] ??2x－3，x>0，13．(一题两空)如果函数F(x)＝? ??fx，x<0 2 是奇函数，则F(－1)＝________，f(x) ＝________. 1 2x＋3 [∵F(x)为奇函数，∴F(－1)＝－F(1)＝－(2×1－3)＝1. 当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3， 又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)， ∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.] 14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则 fx<0的解集为________． x{x|－3 ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3； 当x<0时，f(x)>0，解得－3 15．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x＋x＋b. (1)求b值； (2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． [解] (1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f(0)＝0，解得b＝0. (2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的， 因为f(m)＋f(m－1)>0， 所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)， 所以m－1>－m， 又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0， 在函数f(x)定义域范围内有意义． ?－2≤m≤2，?所以? ??－2≤m－1≤2 5 3 ① ② 1 解①②得 2 ?1?所以m的取值范围为?，2?. ?2?
2021学年新教材高中数学3.2.2第2课时奇偶性的应用课时分层作业含解析人教A版必修一
