2016辽宁铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．（文）已知命题甲为x＞0；命题乙为，那么（ ） A．甲是乙的充分非必要条件 B．甲是乙的必要非充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
（理）已知两条直线∶ax＋by＋c＝0，直线∶mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（文）下列函数中，周期为的奇函数是（ ） A． C．
B． D．
（理）方程 A．
（t是参数， B．
）表示的曲线的对称轴的方程是（ ）
C． D．
3．在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）．给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行； ② ③
； ；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（文）在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ） A．1∶
B．1∶9 C．1∶
的通项公式是
D．1∶
与
（理）已知数列，其中a、b均为正常数，那么
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．与n的取值相关
5．（文）将4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
（理）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给量 单价 2 （元/kg） 供给量 50 （1000kg） 60 70 75 80 90 4 表2 市场需求量 单价 4 （元/kg） 需求量 50 （1000kg） 60 65 70 75 80 2 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）
A.（，）内 B．（，）内 C．（，）内 D．（，）内 6．椭圆 A． B．
的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） C．2 D．4
7．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，0） D．（-1，0） 8．已知函数
是R上的偶函数，且在（-∞，
上是减函数，若
，
则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2 D．-2≤a≤2
9．如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）
A．60° B．45° C．0° D．120° 10．圆心在抛物线是（ ）
上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程
A． C．
B． D．
，
、是
分别是它的左、右焦点，若过
的等差中项，则
等于
11．双曲线的虚轴长为4，离心率
的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且（ ）
A． B． C． D．8．
12．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上 13．若
是数列
的前n项的和，
，则
________．
14．若x、y满足则的最大值为________．
15．有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，教师对A说：“你没能得第一名”．又对B说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有________种可能（用数字作答）． 16．若对n个向量
，…，
存在n个不全为零的实数
，
，…，
，
，…，
，使得
成立，则称向量
定，能说明
（1，2），
为“线性相关”．依此规
，
（1，-1），（2，2）“线性相关”的实数
，依次可以取________（写出一组数值即中，不必考虑所有情况）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知 18．（12分）已知等比数列等差数列． （1）求
的值；
，求
的值．
，且
，
，
成
的公比为q，前n项的和为
（2）求证：，，成等差数列．
19．（12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率． 注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．
20甲．（12分）如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，
△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求证点M为边BC的中点； （2）求点C到平面 （3）求二面角
的距离； 的大小．
中，底面是以∠ABC为直角的等腰直
的中点，E为
的中点．
20乙．（12分）如图，直三棱柱角
三角形，AC＝2a， （1）求直线BE与
＝3a，D为所成的角；
（2）在线段上是否存在点F，使CF⊥平面在，说明理由．
21．（12分）已知双曲线C：
，若存在，求出；若不存
（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦
成等比数列，过F作双曲线C点，点A在x轴正半轴上，且满足、、在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
（1）求证：；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．
22．（14分）设函数实根．
（1）证明：-3＜c≤-1且b≥0；
，
，且方程
有
（2）若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明． 参考答案
1．（文）A（理）C 2．（文）A（理）B 3．C 4．（文）D（理）B 5．（文）D （理）C 6．A 7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C 13．33 14．7 15．18
16．只要写出-4c，2c，c（c≠0）中一组即可，如-4，2，1等 17．解析： 18．解析：（1）由 若q＝1，则 由≠0 得 由 整理，得
，得
，由q≠0，1，得
．
，，，
．
成等差数列，得
，
，
，与题意不符，所以q≠1．
．
（2）由（1）知：，
，所以，，成等差数列．
19．解析：（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法
种，
其中，两球一白一黑有
种．
∴ ．
（2）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为， ∴ P（B）＝×＋＋×＝
法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”． ∴
．
为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 底面ABC．
∴ “有放回摸两次，颜色不同”的概率为 20．解析：（甲）（1）∵ △
且
∵ 正三棱柱
． ， ∴
∴ 在底面内的射影为CM，AM⊥CM．
∵ 底面ABC为边长为a的正三角形， ∴ 点M为BC边的中点． （2）过点C作CH⊥ ∴ AM⊥平面 ∴ CH⊥平面
，由（1）知AM⊥
且AM⊥CM，
∵ CH在平面，由（1）知，
内， ∴ CH⊥AM，
，
且
．
∴
∴ 点C到平面 （3）过点C作CI⊥ ∴ HI为CI在平面 ∴ HI⊥
． ∴
的距离为底面边长为
内的射影，
的平面角．
．
，
．
于I，连HI， ∵ CH⊥平面
，∠CIH是二面角
在直角三角形中，，
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