2016年清华大学领军计划数学测试题
x2y2111．椭圆2?2?1，两条直线l1：y?x，l2：y??x，过椭圆上一点P作两条直线的平行线，分
ab22别与两条直线交于M，N两点，若|MN|为定值，则a?（ ） bA.2 B.3 C.2 D.5
2．已知x,y,z为正整数，x?y?z，那么方程
1111???的解有（ ）组 xyz2A.8 B.10 C.11 D.12
3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入4?4的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.
接下来填数，故共有78????种填法.
4．对于复数z(z?0)，
?8??8??4??4?z40和的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对应的向量OP10z的端点P运动所形成的图形面积为_______.
5．下列计算正确的是（ ）
A.tan1?tan61?tan121?3
tan1tan61tan121tan1?tan61?tan121??3
tan1tan61tan121B.C.tan1tan61?tan1tan121?tan61tan121?3 D.tan1tan61?tan1tan121?tan61tan121??3
6．从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.
7．已知tan4??
3sin4?sin2?sin?sin?，求值. ???3cos8?cos4?cos4?cos2?cos2?cos?cos?8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数a,b,c可以有(ab)c，(ba)c，c(ab)，c(ba)四种不同的乘法，记n个数的乘法为In，则（ ）
A.I2?2 B.I3?12 C.I4?96 D.I5?120
?a2?b2?c2?19．a,b,c?R，?，那么（ ）
a?b?c?1?A.amax?214 B.(abc)max?0 C.amin?? D.(abc)max?? 3327
10．AB为圆O的一条弦，P为圆O上一点，OC?AB，PA以下结论正确的是（ ）
OC?M，PB交OC延长线于N，则
POMABN
A.OMBP共圆 B.AMBN共圆 C.AOPN共圆 D.AOBN共圆
11．F为BC中点，A1E?则VO?BEF?（ ）
1AA1，正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，中心为O，4A.17111711 B. C. D. 1441443838
12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 A.6552 B.4536 C.3528 D.2016
2y13．求不定方程x?615?2(x,y?N)解的个数（ ）
*A.0 B.1 C.2 D.3
14．O在?ABC内，S?AOB:S?BOC:S?AOC?4:3:2，AO??AB??AC，则??____，??_____.
z22?2?3?_______. 15．z?cos?sini，求z?2z?z?233
16．在N项有穷数列{an}中，满足①1?i?j?N时，ai?aj；②1?i?j?k?N时，ai?aj，ai?ak，
aj?ak至少有一项在{an}中，则N的最大值为______.
17．
18．|z?1|?|z|，求|z|的范围和argz的范围.
19．在正三棱锥P?ABC中，?ABC的边长为1，设P到平面ABC的距离为h，当h趋近于正无穷时，
异面直线AB与CP之间的距离为_____.
20．x,y,z均为非负实数，满足(x?)?(y?1)?(z?)?小值为______.
21．实数(x?y)?4xy，则x?y的最大值为______.
222．f(x)?(x?a)e有最小值，则x?2x?a?0的解的个数为______.
2x22322222?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx?______.
122232227，则x?y?z的最大值为______，最4
23．a1?1，a2?2，an?2?6an?1?an，下列叙述正确的是（ ）
A.an?12?an?2an为定值 B.an?lor2(mod9)
C.4anan?1?7为完全平方数 D.8anan?1?7为完全平方数
24．已知抛物线E：y?4x，F(1,0)，过F作弦交E于A，B两点，M为AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
23A.以AB为直径的圆与x??始终相离 B.|AB|的最小值为4
2C.|AM|的最小值为2 D.以BM为直径的圆与y轴有且仅有一个交点
25.对于函数y?x?1和y?lnx，下列说法正确的事 .
2A.二者在(1,0)处有公切线 B.二者存在平行切线 C.两者只有一个交点 D.两者有两个交点
x2y226.p为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1,F2为左右焦点，下列说法正确的是 . abA.a?2b时，满足?F1PF2?90的p点有2个 B.a?2b时，满足?F1PF2?90的p点有4个 C.CPF1F2?4a
D.SPF1F2
a2? 227.随机变量?的分布列为P(??k)?ak(k?1,2,,10)，则下列说法正确的是 . A.若a1,a2,B.若a1,a2,,a10成等差数列，则a5?a6?,a10满足an?1 51 291(n?1,2,2n,9)，则a10?C.若P(??k)?k2ak，则an?11n(n?1,2,10(n?1),10)
D.若nan?(n?1)an?1，则an?11n
10(n?1)
28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖
丁：乙说的是正确的
已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错，
29.下列能够成唯一?ABC的是 .
A.a?1，b?2，c?Z B.A?150，asinA?csinC?2asinC?bsinB C.cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0 D.a?3 ，b?1，A?60
30甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .
31.已知实数a，b，c满足a?b?c?1，则4a?1?4b?1?4c?1的最大值与最小值乘积属于区间（ ）.
A.(11,12) B.(12,13) C.(13,14) D.(14,15)
32. sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC为ABC为锐角形的（ ）.
A. 充要非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
33.已知集合A?{a1,a2,,an}，任取1?i?j?k?n，ai?aj?A，aj?ak?A，ak?ai?A这三个
式中至少有一个成立，则n的最大值（ ）.
A. 6 B.7 C. 8 D.9
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答2
