3．3.1
二元一次不等式(组)与平面区域(一)
学习目标
1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.
会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
知识点一 二元一次不等式(组)的概念
思考 对于只含有一个未知数的不等式x<6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？
??x＝0，
答案 含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值，例如?也
?y＝0，?
可写成(0,0)．
梳理 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式； (2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；
(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一
个解；
(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
知识点二 二元一次不等式表示的平面区域
?x＋3>0，?
思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如?的解集为数轴
?x－4<0?
上的一个区间(如图)．
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y<6的解集表示什么图形呢？
答案 二元一次不等式x－y<6的解是一个有序数对(x，y)，它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x－y<6的解不止一个，且这些解不在直线x－y＝6上．经探索，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x－y＝6左上方的平面区域． 梳理 (1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界． 不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(3)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集．
类型一 二元一次不等式解的几何意义
例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________． 答案 (－7,24)
解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a＜0的解．
??3×3－2×1＋a＞0，∴? ??3×?－4?－2×6＋a＜0??3×3－2×1＋a＜0，或? ??3×?－4?－2×6＋a＞0，
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0， (a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
反思与感悟 对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号．
跟踪训练1 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围． 解 由题意知直线l的斜率存在，设为k. 则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k＋1)(2k－2)≤0，所以－1≤k≤1.
类型二 二元一次不等式表示的平面区域 例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域． 解 先作出边界x＋4y＝4，
因为这条线上的点都不满足x＋4y<4， 所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4， 因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，
所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方． 所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示．
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（一）
