中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）
1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为（ ）．
（A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a 1（乙）．如果a??2?2，那么1?2?113?a的值为（ ）．
（A）?2 （B）2 （C）2 （D）22
bx2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一
个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）
2（乙）． 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5
3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1， 2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）
2a?14 （C）
12 （D）
14
3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．?ADC?30?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）．
（A）32 （B）4 （C）25 （D）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
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（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4（乙）．如果关于x的方程 x2?px?q?0（p，q是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则． p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）
（A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3
?， 5（乙）．黑板上写有1， ， ，23111100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数
a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a?b?ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数
是（ ）．
（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99
二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行
从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足a?b?c?9，
1a?b?1b?c?1c?a?109，那么
ab?c??c?abca?b的值
为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条
作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC?12，段CE、BD的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+
34ECA对角线则线
OBD根分别
k2－3k+
92= 0的两个实数
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为x1，x2，那么
x1x220112012 的值为 ．
8（乙）．设n为整数，且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除，则所有n的个数为 .
9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
（a，b，c）9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若（x，y，z）和（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则
abc111ac的取值范围是 .
10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为 .
（a，b）10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立，则这样
的n的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11（甲）．已知二次函数y?x2?（m?3）x?m?2，当?1?x?3时，恒有y?0；关于x的方程
x?（m?3）x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?2910．求m的取值范围．
11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，
AO?8,AB?AC,sin???C?45yCOEDABx。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且S?COE?S?ADE。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙O的直径为AB，
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且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与?O1交于点D，且OD?CD?O1过点O，
E在OD上，且DC?DE，BE的延长线与?O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．
．点
12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.
13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a?2012时，求a的最小值.
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13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．
14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2， ?，x2012，满足x1?x2???x2012，且
1x1?2x2???2012x2012?n.
14（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可以相同），使得ab?c，求n的最小值．
参考解答
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2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案
