通州区2017—2018学年度高三一模考试
数学（理）试卷
2018年4月
本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项. 1．已知全集U?R，集合A??x|x?1?0?，B??0,1,2?，那么eUAIB等于 A．?0,1,2? B．?1,2? C．?0,1? D．?2?
???x?y?0,?2．已知x，y满足?x?1,那么z?2x?y的最小值是 ?x?y??2,?A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2
3．执行如右图所示的程序框图，若输出m的值是25， 则输入k的值可以是
A．4 B．6 C．8 D．10
?114．设a?log1，b?log3，c?32，那么
2361开始 输入k n?1,m?1 n?k 否 是 n?n?2 m?m?n 输出m 结束 A．c>b>a B．c>a>b C．a>b>c D．a>c>b
5．“?x?R,x2?bx?1?0成立”是“b??0,1?”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．已知抛物线y?8x的准线与圆心为C的圆x?y?2x?8?0交于A，B两点，那么
22uuuruuurCA?CB等于
A．2 B．22 C．25 D．42
7．已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示， 则该四棱锥侧视图的面积是
222A．42 B．4 C．22 D．2
8．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下： 原料 时间 工序 上漆 描绘花纹 原料A 9 15 原料B 16 8 原料C 10 14 则完成这三件原料的描金工作最少需要
A．43小时 B．46小时 C．47小时 D．49小时
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数?1?i??1?ai?是纯虚数，那么实数a?_______. 10．若直线l的参数方程为??x?1?t,(t为参数)，则点P?4,0?到直线l的距离是_______.
?y??1?ta8?_______；记数列?an?2n? a611．已知数列?an?是等比数列，a3?4，a6?32，那么的前n项和为Sn，则Sn?_______.
12．2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B?60?，b?4， 下列判断：
①若c?3，则角C有两个解；
uuuruuur②若BC?BA?12，则AC边上的高为33；
③a?c不可能是9.
其中判断正确的序号是_______.
14．设函数f(x)?x2?acosx，a?R，非空集合M??x|f(x)?0,x?R?.
①M中所有元素之和为_______；
②若集合N?x|f?f?x???0,x?R，且M?N，则a的值是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）
已知函数f?x??sin???????x?x2x． cos?3cos?2?22（Ⅰ）求f?x?的最小正周期；
（Ⅱ）求f?x?在区间???,0?上的最大值和最小值．
16．（本题满分13分）
作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4％，下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.
图一（亿元）1000900800700600500400300200100020112012201320142015增长率20160.05.0415.820.016.7590.8506.1687.716.416.4图二2011-2016年全社会固定资产投资及增长率（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率（％）939.9800.816.7590.8506.1415.8687.716.416.417.425.020.015.010.05.00.021.7800.8939.9（％）25.020.015.010.01100100090020.0800700600500400300200100020112012201320142015增长率2016201721.717.4全社会固定资产投资全社会固定资产投资又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2％.
（Ⅰ）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
（Ⅱ）通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2％，现从2011-2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于17.2％的年份个数”，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较x0与x的大小（只需写出结论）. 17．（本题满分14分）
如图所示的几何体中，平面
PAD?平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形，
?APD?90o，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC，AB?AD，AB?AD?2，
PQ//DC，PQ?DC?1.
AQPDCB（Ⅰ）求证：PD//平面QBC； （Ⅱ）求二面角Q?BC?A的余弦值； （Ⅲ）在线段QB上是否存在点M，使得
AM?平面QBC，若存在，求
QM的值；若不存在，请说明理由. QB18．（本题满分13分）
已知函数f(x)?xe,g(x)?a(e?1)，a?R． （Ⅰ）当a?1时，求证：f(x)?g(x)；
（Ⅱ）当a?1时，求关于x的方程f(x)?g(x)的实根个数.
19．（本题满分13分）
xxx2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的上、下顶点分别为A，B，且AB?2，离心率
ab为
3，O为坐标原点. 2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上的两个动点（不与A，B重合），且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D. 求证：D，N，Q三点共线.
20．（本题满分14分）
已知数列?an?，设?an?an?1?an?n?1,2,3,L数列时，则?an?为凸数列.
（Ⅰ）判断首项a1?0，公比q?0，且q?1的等比数列?an?是否为凸数列，并说明理由；
（Ⅱ）若?an?为凸数列，求证：对任意的1?k?m?n，且k，m，n?N， 均有
?，若数列??an?为单调增数列或常
an?ama?a?am?1?am?mk，且am?max?a1,an?；
n?mm?k其中max?a1,an?表示a1，an中较大的数；
（Ⅲ）若?an?为凸数列，且存在t?1?t?n,t?N?，使得a0?at，an?at， 求证：a1?a2?L?an.
高三数学（理科）一模考试参考答案
2018.4
一、选择题 题号 答案
二、填空题
1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 B 9．?1 10.
12. 24 13. ②③ 14.0，0
三、解答题
15. 解：（Ⅰ）因为f?x??sin???2 11. 4，2n?1?n2?n
??x?x2xcos?3cos?2?22
xxx133?sincos?3cos2?sinx?cosx?22 2222???3?sin?x+?+． …………………… 4
32??分
所以f?x?的最小正周期T?2?.分
（Ⅱ）因为x????,0?，所以x+…………………… 6
??2??????,?. 3?33?所以当x??3??3，即x?0时，函数f(x)取得最大值sin?3+3?3. 2当x?3??5?. ??，即x??时，函数f(x)取得最小值?1+23263.……………… 132
所以f?x?在区间???,0?上的最大值和最小值分别为3和?1+
北京市通州区2018届高考一模考试数学(理)试卷及答案
