(2) Dn?1?a11L22?a2LMnMnL12Mn?an, a1a2Lan?0
1101?a1%?0解：构造辅助行列式D2MM0n%，而D%? 则Dn?D
5． 用数学归纳法证明：
112?a2MnLLLL112， Mn?ancos?Dn?10M012cos?1M00L000000?cosn?
1L2cos?LM0LMM12cos?证明：（1）n?1时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于n阶的行列式成立；
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（3）（下证n阶行列式成立）
由于，Dn? Dn?1+ Dn?2（注：按最后一行（列）展开） = = 所以，
xaaLaxaL 6． Dn?aaxLMMMaaaLaaa，(n?1)a?x?0,求An1?An2?L?Ann Mx (提示：将所有行加到最后一行)
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§3 克来姆（Cramer）法则
1． 用克来姆法则解下列方程组
?2x1?x2?x3?4?(1) ?3x1?4x2?2x3?11
?3x?2x?4x?1123?1
?x1?3x2?x3?0?(2) ?2x1?5x2?0
?x?x?0?12
?kx1?x2?x3?0?2． 当k取何值时，方程组?x1?kx2?x3?0有非零解？
?2x?x?x?0?123
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第二章 矩 阵
§1矩阵的概念及运算
1． 判断正误
（1）设A为m?n矩阵，B为s?p矩阵，若AB?BA，则 AB与BA必为同阶方阵。
（ （2）A与B为n阶方阵，?为实数，有(?A)B?B(?A)???A?B。
（ （3）A与B为n阶方阵，(AB)k?AkBk
(k?N) 。 （ （4）A与B为n阶方阵，?A?B?2?A2?2AB?B2。 （ （5）A为n阶方阵，?A?E?2?A2?2A?E。 （ （6）A与B为n阶方阵，(A?B)(A?B)?A2?B2。 （（7）A为n阶方阵，(A?E)(A?E)?A2?E。 （ （8）A与B为n阶方阵，AT?BT?A?B 。 （（9）A与B为n阶方阵，ATBT?AB。 （2． 选择题
(1) 设A,B,C均为n阶方阵，AB?BA, AC?CA，则ABC?（ ） (A) ACB （B）CBA (C) BCA (D) CAB (2) 若A为实对称矩阵，则ATA的值（ ）
(A) ?0 （B）?0 (C) ?0 (D) 不能确定
（3）设A为方阵，f(x)?x2?x?2，则f(A)为（ ）
(A) A2?A?2 （B）A2?A?2E (C) (A?2E)(A?E) (D) 不能确定
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） ）
） ）
） ） ） ） ） ?12???20?????3． 设A??10，B?1?1，计算：
?????23???11?????(1)
1A?3B；(2) ABT；(3) ATB。 2?10?4． 计算An???。
?1??(提示：先计算出A2,A3，以此归纳出An，然后用数学归纳法证明结论)
5． 设A为n阶方阵，若对任意的n维列向量z，均有Az?0，证明：A?0。
(提示：由于n维列向量z的任意性，考察n维列向量e1,e2,L,en，证A中各元素为0)
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n
线性代数习题参考答案
