南京师大附中2015届高三12月段考试卷 数学 2014.12.30
注意事项：
本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ▲ ．
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．
3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：
花期(天) 个数 11～13 20 14～16 40 17～19 30 20～22 10 则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．
ππ5π3
－，?，则cos?α＋?＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈?4??22??5
5．直线xcos α＋3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ．
6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1， 则f(2014)＝ ▲
7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 ▲ ．
8．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足
12CM?CB?CA，则MA?MB＝ ▲ ．
63
9．有下面四个判断：
①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；
③命题“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”； 2
④若函数f(x)＝ln?a＋x＋1?的图象关于原点对称，则a＝3．
??
其中正确的有 ▲ 个．
x2y2
10．若双曲线2－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的
a3实轴长为 ▲ ．
11135
11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，
23n22
观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．
12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，
SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ．
13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ▲ ．
14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x) 成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2．则数列的通项公式an＝ ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
1
设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2＝ac．
23
(1)求证：cos B≥；
4
(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．
(1)求证：直线EF∥平面BC1A1； (2)求证：EF⊥B1C．
17．(本小题满分14分)
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）．．与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)?4?，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的．函数关系近似满足g(t)?115?|t?15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1?t?30,t?N)的函数关系式； ．．
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）． ．．
18.（本小题满分16分）
x2y2
已知抛物线D的顶点是椭圆C：＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
1615
（1）求抛物线D的方程；
（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ① 若直线l的斜率为1，求MN的长；
② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
1t 19．（本小题满分16分） 设函数f(x)?x?1?alnx(a?R). x（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
记数列?an?的前n项和为Sn（n?N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an?Sn?An2?Bn?C成立．
（1）已知A?B?0，a1?0，求证：数列?an?（n?N*）是等比数列；
（2）已知数列?an?（n?N*）是等差数列，求证：3A?C?B； （3）已知a1?1，B?0且B?1，B?C?2．设?为实数，若?n?N*，
求?的取值范围．
an??， an?1南京师大附中2015届高三12月段考试卷
数 学 2014.12.30
注意事项：
本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ▲ ． 解析 －3＋i－1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝25. 答案 25
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．
解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中1π×122π
的概率为＝.
48π
答案
8
3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：
花期(天) 个数 11～13 20 14～16 40 17～19 30 20～22 10 则这种花卉的平均花期为 ▲ 天． 1
解析 x＝(12×20＋15×40＋18×30＋21×10)＝15.9(天)．
100答案 15.9
ππ5π3
－，?，则cos?α＋?＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈?4??22??5ππ34－，?，sin α＝，所以cos α＝， 解析 因为α∈??22?555π22
α＋?＝－(cos α－sin α)＝－. 所以cos?4??210答案 －
2
10
5．直线xcos α＋3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ． 解析:由xcos α＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－∵－1≤cos α≤1，∴－
33≤k≤. 33
33
≤tan θ≤. 33
3
cos α. 3
设直线的倾斜角为θ，则－
πππ5π
0，?∪?，π?上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π. 结合正切函数在??2??2?66
6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2014)＝ ▲ ． 解析 因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2 014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1. 答案 1
南京师大附中2015届高三12月段考数学试题
