4第四章向量组的线性相关性习题解答
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习 题 四
A 组
1．填空题
(1) 设x=(2,3,7)T，y=(4,0,2)T，z=(1,0,2)T，且2(x?a)?3(y?a)?z，则
a= ．
解 由2(x?a)?3(y?a)?z得
??15???a??2x?3y?z???6?．
??18???(2) 单个向量?线性无关的充分必要条件是 ． 解 ??0．
(3) 已知向量组??=(1,0,1),??=(2,2,3)，??=(1,3,t)线性相关，则 ．
?11011005解 因为?2?223?221?2t?5?0，所以t?．
2?313t13t?1(4) 设有向量组??,??，又????????，??????2??，???????2??，则向量组
??,??,??线性 ．
解 ?1,?2,?3可由?1,?2线性表示，所以?1,?2,?3的秩小于等于2，从而可知
?1,?2,?3线性相关．
(5) 若向量组??,??,??线性相关，则向量组?????，?????，?????线性 ．
110??1??2??110???1??110?????????解 因为??2??3???011???2?，又011?2?0，所以矩阵?011?可逆，从
??????101?????101?1011??3???3???而
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??1??110???1??2?????????011???223??????， ????101??????1??3????3?1即?1,?2,?3与?1??2,?2??3,?3??1等价．故?1??2，?2??3,?3??1线性相关． (6) 设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，
则 ．
1解 a?．
2(7) 设向量组?1??a,0,c?,?2??b,c,0?,?3??0,a,b?线性无关，则a,b,c必满足关系式 ．
解 abc?0．
?12?2?T??(8)设三阶矩阵A=?212?，三维列向量???a,1,1?．已知A?与?线性相关，则
?304???a? ．
解 a??1． 2．选择题
(1) n维向量组a1,a2,,as(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是 ．
,ks，使k1?1?k2?2?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0； ?ks?s?0；
(A)存在一组全为零的数k1,k2,(B)存在一组不全为零的数k1,k2,(C)a1,a2,(D)a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关；
,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．
,?s线性相关的充分必要条件是：?1,?2,,?s中至少有一个向量
答 （D）．?1,?2,可由其余s?1个向量线性表示．所以?1,?2,,?s线性无关的充分必要条件是：
?1,?2,,?s中任意一个向量都不能由其余s?1个向量线性表示．
(2) 设有两个n维向量组??,??,k1,k2,,ks；?1,?2,,?s、??,??,,?s，若存在两组不全为零的数
?(ks??s)?s?0；
,?s，使(k1??1)?1??(ks??s)?s?(k1??1)?1?则 ．
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(A) ?????,,?s??s，?????,,?s??s线性相关；
(B) ??,??,,?s、??,??,,?s均线性无关； (C) ??,??,,?s、??,??,,?s均线性相关；
(D) ?????,,?s??s，?????,,?s??s线性无关．
答 （A）．因为
(k1??1)?1??(ks??s)?s?(k1??1)?1??(ks??s)?s?0， ?1(?1??1)???s(?s??s)?k1(?1??1)??ks(?s??s)?0，
所以?1??1,,?s??s,?1??1,,?s??s线性相关．
(3) 设向量组?1,?2,,?m和向量组??,??,,?m为两个n维向量组(m?2)，且
?????????????m,?????????????m, ????m?????????m?1,则有 ．
(A) ?1,?2,,?m的秩小于??,??,,?m的秩； (B) ?1,?2,,?m的秩大于??,??,,?m的秩； (C) ?1,?2,,?m的秩等于??,??,,?m的秩；
(D) 无法判定．
???1??011??011答 （C）．因为????21?????10???1????2101??????，又?(?1)m?1(m?1)?0，所以
????m?????110?????????m??110有
???1??011??1???????1?2???101??????????2??， ????m?????110?????????m??仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
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即?1,?2,,?m与?1,?2,,?m等价，从而知?1,?2,,?m和??,??,,?m与?1,?2,,?m的秩相等．
(4) 设有两个n维向量组?1,?2,,?m均线性无关，则向量组
?1???,?2???,,?m??m ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1???1???1?????????例如，?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2???1?，则?1,?2和?1,?2都线性无关，但
?0??0??0??0??????????1??1,?2??2线性相关．
?1??1??1??1?????????又如， ?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，
?0??0??0??0??????????1??1,?2??2也线性无关．
(5) 设有向量组A???1,?2,,?s与B???,??,,?t均线性无关，且向量组A中的每个
向量都不能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组?1,?2,,?s???,??,,?t的线性相关性为 ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1??0??0?????????例如，当?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，且?1,?2?0??0??1??1?????????不能由?1,?2线性表示，?1,?2也不能由?1,?2线性表示．但?1,?2，?1,?2线性相关．
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