立体几何知识点整理（文科）
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行
l α符号表示：
2. 线面相交
lAα符号表示：
3. 线在面
αl符号表示：
二．平行关系： 1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。ll//???l?????l//m ????m???m
方法二：用面面平行实现。
l?//?β?γ????l???l//m αm????m??方法三：用线面垂直实现。 若l??,m??，则l//m。 方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
ll//m?mm?????l//? αl????方法二：用面面平行实现。
?//??βll?????l//? α方法三：用平面法向量实现。
若n为平面?的一个法向
nl量，n?l且l??,则
αl//?。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
l//l'?m//m'??βmll,m??且相交???//??m'l'l',m'??且相交?α?方法二：用线面平行实现。
l//??m//??l???//?βml,m??且相交??α
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
l?AC?l?AB??lAC?AB?A??l??
?CAC,AB????αAB
方法二：用面面垂直实现。
βl????????m???l?? ml?m,l????α
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βll???l???????? α
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
ll???m?????l?m
mα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPO???l?OA???l?PA AOl????αl
方法三：用向量方法：
若向量l和向量m的数量积为0，则l?m。 三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 围：(0?,90?] (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
a222ccos??a?b?cθ2ab
b(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角 C(计算结果可能是其补角)：
θAcos??AB?ACBAB?AC (二) 线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO??于O,连结AO，则AO为斜线PA在面?的射影，?PAO(图中?)为直线l与面?所成的角。
PAθαO
(2)围：[0?,90?]
当??0?时，l??或l//? 当??90?时，l?? (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
nP(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面分别作l的垂线θαAO（射线）m、n，则射线m和n的夹角?为二面角?—l—?的平面角。
??mPl?n
(2)围：[0?,180?] (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面?和?，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。
βPθAαO
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
n1n2θ
步骤一：计算cos?n1?n2??n1?n2n1?n
2步骤二：判断?与?n1?n2?的关系，可能相等或者互补。
高考题典例
考点1 点到平面的距离
四．距离问题。 1．点面距。
方法一：几何法。
P?AO
步骤1：过点P作PO??于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
m?n
如图，m和n为两条异面直线，n??且m//?，
则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面?之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
BaAmcdn?bDm'C
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，
m//m'，则异面直线m和n之间的距离为： d?c2?a2?b2?2abcos?
例1如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A?A1D?B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．
考点2 异面直线的距离
B
A
F
C O
D
A1C1B1
例2 已知三棱锥S?ABC，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为
BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.
考点3 直线到平面的距离
例3． 如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离
考点4 异面直线所成的角
例4如图，在Rt△AOB中，?OAB?π，斜边AB?4．Rt△AOC可以通过
6D1 A1H G D A
O1 B1C1C O B Rt△AOBA以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C的直二面角．D是AB的（I）求证：平面COD?平面AOB； （II）求异面直线AO与CD所成角的大小．
考点5 直线和平面所成的角
D中点．
OCEB
例5. 四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD．已知∠ABC?45，AB?2，BC?22，SA?SB?3．
S（Ⅰ）证明SA?BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．
考点6 二面角
例6．如图，已知直二面角??PQ??，A?PQ，B??，C??，CA?CB，（I）证明BC⊥PQ ?BAP?45，直线CA和平面?所成的角为30．（II）求二面角B?AC?P的大小．
考点7 利用空间向量求空间距离和角
例7． 如图，已知ABCD?A1B1C1D1是棱长为3的正方体， 点E在AA1上，点F在CC1上，且AE?FC1?1． （1）求证：E，B，F，D1四点共面；
CDAB? C P B
A
Q
? D1C1 B1A1
F M D
E
2（2）若点G在BC上，BG?，点M在BB1上，GM⊥BF，
3C
证：EM⊥平面BCC1B1；
H G B
A
垂足为H，求
（3）用?表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan?
<一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面
面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面
垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的
射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
