第三讲 超几何分布
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．离散型随机变量的概率分布
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，
n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X P
为离散型随机变量X的概率分布表． (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
二．两点分布
如果随机变量X的概率分布表为
x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn X P
0 1－p 1 p 其中0 1.概念：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件CMCN－M产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝n (r＝0,1,2，…，l)．即 CNrn－rX P 0 CMCN－Mn CN0n－01 CMCN－Mn CN1n－1… … l CMCN－Mn CNln－l其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N. 如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； 1 * ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布 四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn （1）称E(X)?x1p1?x2p2?????xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称D(X)??(x?E(X))ii?1n2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离 程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 且E(aX＋b)＝aE(X)＋b； D(aX＋b)＝a2D(X) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 分布列性质 【例1】（1）设离散型随机变量X的概率分布为下表，求2X＋1的概率分布． X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m （2）若（1）中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的概率分布． （3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X的概率分布． 【套路总结】 1.利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2.求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 【举一反三】 2 2 1．设X是一个离散型随机变量，其概率分布为 X P 则q＝________. －1 1 30 2－3q 1 q2 ?2?k2．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝m??(k＝1,2,3)，则m的值为________． ?3? 考向二 超几何分布 【例2-1】 某外语学校的一个社团中有7名同其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的概率分布． 【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x； （2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为?1， ?2，令?=?1??2，求?的分布列和期望. 3 【套路总结】 超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； 【举一反三】 1．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在?60,150?），按下列分组?60,70?，?70,80?， ?80,90?，?90,100?，?100,110?，?110,120?，?120,130?，?130,140?，?140,150?作出频率分布直方图， 如图1；样本中分数在?70,90?内的所有数据的茎叶图如图2： 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表． （1）求n的值及频率分布直方图中的x,y值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率； （3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用?表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量?的分布列和数学期望． 【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 1．随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 4 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________． 2．若离散型随机变量X的分布列是 则常数c的值为_____. 3．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表： 空气污染指数 0--50 51--100 101--150 151----200 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 空气污染指数 空气质量 201--250 251--300 >300 中度污染 中度重污染 重污染 我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天.下图是某市2024年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本做的茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶） （1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率； （2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列． 5
【精品】2024年高考数学一轮复习高分点拨专题7.3 超几何分布(理科专用)(学生版)
