22.2.1 第2课时 因式分解法
1．因为(x－1)(x＋2)＝0，所以x－1________0或x＋2________0，解得x1＝________，x2＝________． 2．下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( ) A．(x＋5)(x＋7)＝0 B．(x－5)(x－7)＝0 C．(x＋5)(x－7)＝0 D．(x－5)(x＋7)＝0
2
3．将方程4x－3x＝0左边提公因式后，得x(4x－3)＝0，必有________＝0或________＝0，解这两个方程，得原方程的根为x1＝________，x2＝________．
2
4．方程x＝2x的根是( ) A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x＝0
5．方程x(x－2)＋x－2＝0的根是( ) A．x＝2 B．x1＝－2，x2＝1 C．x＝－1 D．x1＝2，x2＝－1 6．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＝x； (2)3x(x－2)＝2(2－x)．
知识点 3 利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程
222
7．由4y－9＝0，可得(______)－3＝0，则(2y＋3)(______)＝0，所以______＝0或______＝0，解得y1＝________，y2＝________．
2
8．方程x－4x＋4＝0的解是____________． 9．运用平方差公式或完全平方公式解方程：
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(1)9y－16＝0; (2)16(x－1)＝225；
22
(3)2x－4x＝－2; (4)25x＝10x－1.
10．定义一种新运算：a▲b＝a(a－b)，例如4▲3＝4×(4－3)＝4.若x▲2＝3，则x的值是( ) A．x＝3 B．x＝－1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
22
11．已知方程x＋px＋q＝0的两个根分别为2和－5，则二次三项式x＋px＋q可分解为( ) A．(x＋2)(x－5) B．(x－2)(x＋5) C．(x＋2)(x＋5) D．(x－2)(x－5) 12．［2016·青海改编］已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x－2)(x－4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )
A．8 B．10 C．8或10 D．12
2
13．关于x的一元二次方程m(x－p)＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x－p＋5)2＋n＝0的根是____________．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)［教材例2(2)变式］3(x－2)＝5x(2－x)；
12
(2)［教材例3(2)变式］(2x－5)－2＝0；
2
2
(3)x＋3＝2(x＋1)；
22
(4)x－4x＋4＝(3－2x).
15．小红解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0的过程如下：先将方程变为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边都除以(2x－5)得x＝4.请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．
x－1x2－412
16．先化简，再求值：·2÷2，其中x－x＝1.
x＋2x－2x＋1x－1
22
17．如果方程ax－bx－6＝0与方程ax＋2bx－15＝0有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一个根.
18．阅读下面的材料，并回答问题．
22222
我们知道，把乘法公式(x±y)＝x±2xy＋y和(x＋y)(x－y)＝x－y的左右两边交换位置，就得到了
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因式分解的公式：x±2xy＋y＝(x±y)和x－y＝(x＋y)(x－y)．同样的道理，我们把等式(x＋a)(x＋b)
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＝x＋(a＋b)x＋ab的左右两边交换位置后，得到x＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，也就是说，一个特殊
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形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．所以在解方程x＋3x＋2＝0时，可以把方程变形为(x＋1)(x＋2)＝0，所以x1＝－1，x2＝－2.请模仿这种解法，解下列方程：
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(1)x－2x－3＝0； (2)x－5x＋4＝0.
教师详答
1．＝ ＝ 1 －2 2. D
3
3．x 4x－3 0
42
4．B [解析] x－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，所以x1＝0，x2＝2. 故选B.
5．D [解析] 提取公因式x－2，解方程即可．
6．解：(1)移项，得x(x－2)－x＝0，提公因式，得x(x－2－1)＝0，即x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2
＝3.
2
(2)由原方程，得(3x＋2)(x－2)＝0，所以3x＋2＝0或x－2＝0，解得 x1＝－，x2＝2.
3
33
7．2y 2y－3 2y＋3 2y－3 －
22
8．x1＝x2＝2
9．解：(1)原方程可化为(3y＋4)(3y－4)＝0，
44
∴3y＋4＝0或3y－4＝0，∴y1＝－，y2＝.
33
22
(2)∵16(x－1)－15＝0，
∴[4(x－1)＋15][4(x－1)－15]＝0， ∴4x＋11＝0或4x－19＝0，
1119
∴x1＝－，x2＝. 44
2
22
(3)原方程可化为2x－4x＋2＝0，两边同时除以2，得x－2x＋1＝0，所以(x－1)＝0，解得x1＝x2
＝1.
2
(4)原方程可化为25x－10x＋1＝0，
2
∴(5x－1)＝0，
1
∴x1＝x2＝. 5
2
10．D [解析] ∵x▲2＝3，∴x(x－2)＝3，整理得x－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，所以x1＝3，x2＝－1.故选D.
11． B 12． B
[解析] ∵(x－2)(x－4)＝0，∴x1＝4，x2＝2. 由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2， 所以该等腰三角形的周长是4＋4＋2＝10. 故选B.
2
13． x1＝－8，x2＝－3 [解析] ∵关于x的一元二次方程m(x－p)＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，
22
将方程m(x－p＋5)＋n＝0变形为m[(x＋5)－p]＋n＝0，则此方程中x＋5＝－3或x＋5＝2，解得x＝－8或x＝－3.
14．解：(1)原方程可化为 3(x－2)＋5x(x－2)＝0， ∴(x－2)(3＋5x)＝0， ∴x－2＝0或3＋5x＝0，
3
∴x1＝2，x2＝－. 5
22
(2)原方程可化为(2x－5)－2＝0， ∴(2x－5＋2)·(2x－5－2)＝0， ∴(2x－3)(2x－7)＝0，
37
∴2x－3＝0或2x－7＝0，∴x1＝，x2＝.
22
(3)原方程可化为x－2x＋1＝0，∴(x－1)＝0，∴x1＝x2＝1.
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(4)原方程可变形为(x－2)＝(3－2x)，∴(x－2)－(3－2x)＝0， ∴[(x－2)＋(3－2x)][(x－2)－(3－2x)]＝0， 即(1－x)(3x－5)＝0， ∴1－x＝0或3x－5＝0，
5
∴x1＝1，x2＝.
3
15．小红的解法不正确．
正确解法如下：x(2x－5)＋4(5－2x)＝0， x(2x－5)－4(2x－5)＝0， (2x－5)(x－4)＝0， 2x－5＝0或x－4＝0，
5
∴x1＝，x2＝4.
2
x－1（x＋2）（x－2）1
16．原式＝·÷ 2
x＋2（x－1）（x＋1）（x－1）
x－1（x＋2）（x－2）＝··(x＋1)(x－1) 2
x＋2（x－1）＝(x－2)(x＋1) 2
＝x－x－2. 2
∵x－x＝1，
∴原式＝1－2＝－1.
17．把x＝3分别代入两个方程， ?9a－3b－6＝0，?得? ?9a＋6b－15＝0，???a＝1，解得?
?b＝1.?
2
把a＝1，b＝1代入ax－bx－6＝0，得 x2－x－6＝0，
即(x－3)(x＋2)＝0， 解得x1＝3，x2＝－2，
2
所以方程ax－bx－6＝0的另一个根为－2.
2
把a＝1，b＝1代入ax＋2bx－15＝0，得 x2＋2x－15＝0,
即(x－3)(x＋5)＝0， 解得x1＝3，x2＝－5，
2
所以方程ax＋2bx－15＝0的另一个根为－5.
2
18．解：(1)因为x－2x－3＝0， 所以(x－3)(x＋1)＝0， 即x1＝3，x2＝－1.
2
(2)因为x－5x＋4＝0， 所以(x－1)(x－4)＝0， 即x1＝1，x2＝4.
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九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第2课时因式分解法
