∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， ∴AD=
11AB′=BC， 221． 2②如图3中，
故答案为
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′，
11B′C′=BC=4， 22故答案为4．
∴AD=
（2）结论：AD=
1BC． 2理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC=AM，
1BC． 2（3）存在．
∴AD=
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O．
∵∠ADC=150°， ∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°， ∴EM=
1BM=7， 2∴DE=EM﹣DM=3， ∵AD=6，
∴AE=DE，∵BE⊥AD， ∴PA=PD，PB=PC，
在Rt△CDF中，∵CD=23，CF=6， ∴tan∠CDF=3， ∴∠CDF=60°=∠CPF， 易证△FCP≌△CFD， ∴CD=PF，∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°， ∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°， ∴∠BPC=120°， ∴∠APD+∠BPC=180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=3， ∴PN=DN2?PD2=(3)2?62=39．
【点睛】
本题考查四边形综合题．
5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程： 特例验证：
(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ． 猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12
，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①(2) AD=
1；②4 21BC，理由见解析 2(3)存在，313 【解析】 【分析】
(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=
11AB′=BC 22②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.
（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示： 因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=
1BC； 2
(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O
假设P点存在，再证明理由.
根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM=23，DM=43存在；
∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=DE=EM﹣DM=73﹣43=33， 由已知DA=63，推得AE=DE
且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD 因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=
1BM=73，21BC=63，利用线段长度可求得∠CDF=60° 2利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形， 得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度. 【详解】
(1)①∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60° ∵DB′=DC′ ∴AD⊥B′C′
∵∠BAB′+∠CAC′=180° ∴∠BAC+∠B′AC′=180°
∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120° ∴∠B′=∠C′=30° ∴AD=
11AB′=BC 221 2故答案：
②∵∠BAB′+∠CAC′=180° ∴∠BAC+∠B′AC′=180° ∵∠BAC=90°
∴∠B′AC′=∠BAC=90°
AB?AB'??在△BAC和△B′AC′中，??BAC??B'AC\?90?
?AC?AC\?∴△BAC≌△B′AC′(SAS) ∴BC=B′C′ ∵B′D=DC′
11B′C′=BC=4 22故答案：4
∴AD=
(2)AD与BC的数量关系：AD=
1BC；理由如下： 2延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示： ∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC， ∵∠BAB′+∠CAC′=180°， ∴∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠BAC=∠AB′M，
?AC?B'M?在△BAC和△AB′M中，??BAC??AB'M，
?AB?AB'?∴△BAC≌△AB′M(SAS)， ∴BC=AM， ∴AD=
1BC； 2
(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：
延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示： ∵∠A+∠B=120°， ∴∠ADC=150°，
中国科技大学附属中学数学几何模型压轴题单元练习(Word版 含答案)
