【分析】设CB与AD延长线交于E点．构建等腰△ACE，等腰△ABE．所以利用等腰三角形的“三合一”性质求得AD＝CE＝4，则在直角△ABD中，由勾股定理得到BD的长． 【解答】解：如图，设CB与AD延长线交于E点． ∵∠C＝∠CAD， ∴AE＝CE．
又∵BD平分∠ABE，BD⊥AD， ∴AB＝BE＝5，
∴CE＝AE＝BC+BE＝3+5＝8， ∴AD＝DE＝AE＝4，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到BD＝故答案为：3．
＝
＝3．
三．解答题（共15小题）
17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
【分析】（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等； （2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DE+BE＝AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）
CE＝CF（角平分线的性质）
∵BC＝CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得， Rt△BCE≌Rt△DCF ∴DF＝EB，设DF＝EB＝X ∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，
CE＝CF，AC＝AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL） ∴AF＝AE
即：AD+DF＝AB﹣BE
∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x ∴9+x＝21﹣x解得，x＝6 在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10 ∴CF＝8
∴Rt△AFC中，AC＝CF+AF＝8+（9+6）＝289 ∴AC＝17
答：AC的长为17．
18．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
2
2
2
2
2
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米， ∴BD+BE＝DE＝
＝
＝15， ＝24米．
∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米． 答：梯子底端将向左滑动了8米．
19．在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，且∠B＝90°．求四边形ABCD 的面积．
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△
ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝
2
＝5，
2
2
在△ACD中，AC+CD＝25+144＝169＝AD， ∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
20．在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）．智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD＝CD＝10m，∠D＝90°，BC＝40m，∠DCB＝135°．请你根据上述数据求出A，B之间的距离．
【分析】连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．＜ 【解答】解：连接AC
在△ADC中，∠D＝90°，DC＝AD＝10m， ∴
由勾股定理得
，
，
∵∠BCD＝135°，∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝135°﹣45°＝90°， 在Rt△ACB中，BC＝40m， 由勾股定理得
答：A，B之间的距离为
．
，
21．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．
【分析】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∵AB＝3，BC＝4， ∴
∵CD＝12，AD＝13， ∵AC+CD＝5+12＝169，
2
2
2
2
，
AD＝169，
∴AC+CD＝AD， ∴∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
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2
2
2
人教版八年级数学下册单元练习题 第17章 勾股定理 含解析
