唐山一中2017—2024学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学试卷
命题人：李桂兰 及淑颖 审核人：朱崇伦 说明：
1.考试时间120分钟，满分150分；
2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上； 3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
z?1．若m?i1?i（m?R，i为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22a,b?Ra?b?0，则a,b全为0”时，假设正确的是（ ） 2．用反证法证明“若，A. C. a,b中只有一个为0 B. a,b至少一个为0 a,b全不为0 D. a,b至少有一个不为0 3.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ） A．23C3C198 B．2332C3C197+C3C197 C．14C5-C2003C197 D．5C5-C200197 2?(x)f(x)?x?2xf?(1)，则f?(?1)? （ ） f(x)f4. 设函数的导函数为，且A．0 B．?6 C．?3 D．?2 5. 设随机变量X的分布列为P(X?i)?i(i?1,2,3,4)P(X?3)? （ ） 2a，则2337A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 6. 某厂生产的零件外直径?N?10，0.04?，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，
测得其外直径分别为10.3cm和9.3cm，则可认为 （ ） A．上、下午生产情况均正常 B．上、下午生产情况均异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D．上午生产情况异常,下午生产情况正常
111???237. 利用数学归纳法证明不等式：?1*?n(n?2,n?N)n2?1的过程中，
由n?k变到n?k?1时，左边增加了 （ ） A. 2 项 B. 2kk?1项 C. k项 D. 1项
f(x)?8. 过函数x1?x图象上一点?2,?2?及邻近一点?2??x,?2??y?作割线，则当?x?0.25时割线的斜率为 （ ）
149?A.5 B．5 C．1 D．5 9. 从1,2,???,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则
不同取法共 （ ）
A．60种 B．65种 D．68种 10. 设函数
C．66种
f(x)在R上可导，其导函数为f?(x)，且函数y??1?x?f?(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） A．函数B．函数C．函数D．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ） A．1320种 12.设函数
B．2160种
C．2400种
D．4320种
y?f(x)在?0,???上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数
?f(x),f(x)?pfp(x)??f(x)f(x)的“p界函数”.若给定函数?p,f(x)?p，则称函数p为
f(x)?lnx?1ex，恒有fp(x)?f(x)，则下列结论正确的是 （ ）
11A．p的最大值为e B．p的最小值为e C．p的最大值为2 D．p的最小值为2
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
?21?x??a??2x??的展开式中常数项为19，则实数a的值为__________. 13．??1?x2, ?1?x?12f(x)??xf(x)dx?e, x＞1????114. 已知函数，则=__________. 15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋自或是
4B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都12，则小球落入A袋中的概率为__________.
16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)?30,D(X)?20,则p?23；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(?＞1)?p，则P(?1＜??0)?1?p2；
X④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，B(10,0.8)，则当X?8时概率最大．
三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. (本题满分10分)
p?(1?x)?1?px. p?1,p?Nx??1x?0设整数，用数学归纳法证明：当且时，
18.(本题满分12分)
3f(x)?x?x?16. 已知函数（1）求曲线y?f(x)在点?2,?6?处的切线的方程；
y?f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
（2）直线l为曲线
19.（本题满分12分）
2024年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩
1达全区前20名的概率都是3，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．
（1）求该学生进入省队的概率．
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为分布列及的数学期望. 20．（本题满分12分） 已知二次函数?，求?的?f?x???x2+8x，直线l2:y??t2?8t（其中f?x?l:x?2l,l0?t?2,t为常数），1.若直线12与函数的图象以及l2,y轴与函数f?x?的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求阴影面积S关于t的函数（2）已知函数S?t?；
g?x??S?x??alnx在其定义域上单调递减，求a的范围.
21.(本题满分12分)
1f(x)?(1?)x(n?N?,n?1,x?N?).n 设函数 1(1?)xn的展开式中二项式系数最大的项； （1）当x?6时，求f(2x)?f(2)?f?(x)f?(x)是f(x)的导函数）?x?R2（2）（A普班、实验班做），证明（；
1an?(1?)?(a?1)n??kk?1（B英才班做）是否存在a?N,使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由.
22.(本题满分12分) 已知函数nkf(x)?lnx?axf(x)；
（1）讨论的单调性；
有两个不相等的零点（2）当函数f(x)x1,x2时,证明:
x1?x2?e2. 唐山一中2017—2024学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学答案
一．选择题：1-4: DDBB；5-8: CCAB；9-12: CDAB.
?二．填空题：13. ?1；14. 2?e2?e；15. 0.75；16. ②③④.
三．解答题：
17. 用数学归纳法证明:
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线l的方程为:y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为A，
211213111232P(A)=C4()()()?()4?P(A)=3333243 ∴243……………………4分 则（2）该生参加竞赛次数?的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分
河北省唐山一中2024-2024学年高二下学期期中考试数学（理）试题Word版含答案
