利用三点共线解决向量问题

三点共线问题

【结论】

已知直线l上三点A,B,P，O为直线l外一点，若AP?λAB(λ?R)，则有

OP?(1?λ)OA?λOB

0?λ?1 O λ?1 O λ?0 O A P B A B P P A B 若AB?2AP，则λ?13 若AB?2BP，则λ? 221113OP?OA?OB OP??OA?OB 2222若AB?2AP，则λ??1 2OP?31OA?OB 22 例1：

在ΔABC中，点O在线段BC的延长线上，且|BO|?3|CO|，当AO?xAB?yAC时，x?y? . [ 解析 ] 根据题意画出图像如右图 由|BO|?3|CO|得BO?所以AO?? 例2：

在ΔABC中，点P在线段BC边上，且BP?2PC，点Q是AC的中点，若PA?(4,3)，

A 3BC， 2B C O 13AB?AC，即x?y??2. 22PQ?(1,5)，则BC? .

[ 解析 ] 根据题意画出图像如右图由题意可知A，Q，C三点共线，且Q为AC中点，

A 所以QC??QA，则PC?2PQ?PA，而

BC?2PC，解得BC?(?6,21).

B Q P C 例3.

在梯形ABCD中，AB//CD，AB?2CD，M,N分别是CD，BC的中点，若

AB?λAM?μAN，则λ?μ? . [解析] 如图，连接MN，交AB的延长线于点E； D M C 因为M,N分别是CD，BC的中点，可知

ΔMNC?ΔENB

所以NE??NM?AE?2AN?AM 故AB?45AE?8445AN?5AM，即λ?μ?5. N A B E