概率论与数理统计期末复习20题及解答
【第一章】随机事件与概率
1、甲袋屮有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋屮任取-?球放入乙袋，再从乙
袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.
2、 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话
的概率.
3、 已知将0,1两字符之一输入信道吋输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为 a(0 4、 试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题， 则 一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率 为 0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率；(2)己知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题 的概率. 【第二章】随机变量及其分布 5、设连续随机变量X的分布函数为 F(兀)=A + Barctanx, -^> < x< +x . (1)求系数A及B； (2)求X落在区间(-1,1)内的概率；(3)求X的概率密度. 6、设随机变量X的概率密度为 ”、[ax, 0 < x < 1, = 1 o,其它， 求：(1)常数(2) P(0.5< X <1.5)； (3) X 的分布函数 F(x). 7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 4(1 + xy), 卜I vi,|y| vi; 0, 求：(1)系数A； (2) X的边缘概率密度fx (x): (3)概率P(Y 8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 fg y) = \\ 求：(1)(x,y)的边缘概率密度fx(%),人(刃；(2)概率p(x 0 < x < 1,0 < y < 2x; 其它 9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，X?t/[0,0.2], Y的概率密度函数为 5e'5y, y>o, y fy(y) = ] <0. 0, (1)求X和Y的联合概率密度f(x,y) ； (2)求概率P(Y 【第三章】数字特征 10、设随机变量X的概率密度为 (a-b)x^-b, 0 2, 0 , 其它， 已知E(X) = —,求:(1) a上的值；(2) E(2X + 3)? 11、设随机变量X的概率密度为 0, 求：(1)常数 (2) E(X)和 ￡>(%). 12、设(x，y)的联合概率分布如下: (1)求的数学期望E(X), E(Y),方差D(X), D(y). (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X.Y). 【第四章】正态分布 13、 假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布，已 知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2. 3%. (1)试估计本次考试的不及格率 (低于60分为不及格)；(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已 知 0(1) ? 0.8413, 0(1.5)-0.9332, 0(2) = 0.9772] 14、 两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位：mm)表示轴的直径，随机变量Y (单 位：mm)表示轴衬的内径，已知X?N (50,0.32), 丫?N(52,0.4j ,显然X与丫是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在1?3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使 用的概率.[已知0⑵-0.9772] 【第五章】数理统计基本知识 15、设总体X?N(0,l), X1?X2,?X5是來自该总体的简单随机样本，求常数￡>0使 k(X} +2X2) ?\? 16、设总体X?N(40,52),从该总体中抽取容量为64的样本，求概率P(|X-4O|<1). 【第六章】参数估计 17、设总体X的概率密度为 (Ae~2(x'2), x>2, [0, 其它, 其中参数2>0.设X],X2,…,X”是取自该总体的一组简单随机样本，知兀2,…，兀为样本观测值. (1) 求参数2的矩估计量. (2) 求参数2的最大似然估计量. 18、设总体X的概率密度为 0, 其中参数久>0.设X],X2，???,X〃是取自该总体的一组简单随机样本，再，兀2,…，暫为样本观测值. (1) 求参数2的最大似然估计量. (2) 你得到的估计量是不是参数2的无偏佔计，请说明理由. 【第七章】假设检验 19、 矩形的宽与长Z比为0.618 (黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱 画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长Z比必须服从均值为A)=0 618的止态分 布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为1 = 0.646,样本标 准差为s = 0.093 .试问在显著性水平a = 0.05水平上能否认为这批产品是合格品？ 20、 已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中 收缩压的增高值服从均值为“o = 22 (单位:mmHg,亳米汞柱)的正态分布?现在研制了一种新的替代药 品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本 均值% = 19.5(mmHg),样本标准差5 = 5.2(mmHg)?试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代 药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平a = 0.05 ). 解答部分 【第一章】随机事件与概率 1、甲袋小有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从 乙袋 中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率. 【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C表示“经此换 球过程后甲袋中黑球数增加”，则 C = AB, 又P(A) = P(B\\A) = - = -t于是由概率乘法定理得所求概率为 7 6 2 P(C) = P(AB) = P(A)P(B|A)=y~ = |. 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的 概率. 【解】设4表示“此人第i次拨号能拨通所需电话” (z = l, 2), A表示“此人拨号不超过两次而接通 所需电话”，则 由概率加法定理与乘法定理得所求概率为 _ A = A{ + A 企， P(A)= P(A + AA) = P( A ) + P(入 A) =P(AJ + P(入)P(4冈)二右 + 鲁 +02 3、 己知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为 a(0 【解】设儿：输入的是“101”，生：输入的是“ 010”，输出的是“ 000 ”，贝IJ P(AJ = l/2, P(A2) = l/2, 肉P{B\\A2) = a~(y-ay 从而由全概率公式得 P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) 2 2 2 =丄(1一0)匕 +丄/(1 一 a) =-a(l-a). 4、 试卷屮的一道选择题有4个答案可供选择，其屮只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题， 则 一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率 为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题 的概率. 【解】设A表示“该考生会解这道墅，B表示“该考生选出正确答睾”，则 P(A) = 0.85, P(A) = 0.2 , P(B|A) = 1, P(B|A) = 0.25. (1) 由全概率公式得 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B[A) = 0.85x1 + 0.2x0.25 =0.9. (2) 由贝叶斯公式得 1 遡业2 =鸣=口“.944. P(B) 0.9 18 【第二章】随机变量及其分布 5、设连续随机变量X的分布函数为 F (兀)=A + B arc tan x, 一 8 v 兀 v ? (1)求系数A及B； (2)求X落在区间(-1,1)内的概率；(3)求X的概率密度. 【解】(1)由分布函数的性质 可知 F(-oo) = lim F(x) = A + B ?(--)=0, XTp 2 F(+oo)= lim F(x) = A + B ~ = lf XTW 2 由此解得 A = -9B = ~. 2 71 (2) X的分布函数为 F(x) = + arctanx (一8 < x< +x), 2 71 于是所求概率为 P(-l < X < 1) = F(l) - F(-l) = (— + — arctan 1) - (— + — arctan(-1))=—. 2 K 2 2 (3) X的概率密度为 ] 龙(1 +兀2) 6、设随机变量X的概率密度为 0 求：(1)常数 a； (2) P(0.5< X <1.5)； (3) X 的分布函数 F(x). 【解】(1)由概率密度的性质可知 c +°° p 1 a j f(x)dx = J()axdx = —= 1 由此得 (2) 1 P(O.5VXV1.5 誌加 + 3/2 0 Odx = + 0 = 0.75. x^ i 1/ 2 (3)当兀vO吋，有 当OSxv1时，有 当x>l时， 有 所以，X的分布函数为 F(x) = J Odx + J()2xdx = x ； f 0 f 1 f -t F(x) = j Qdx^2xdx-\\rQdx = 1. 0, x< 0, 0 < x < 1, 1, x > 1. 2 F(x) = < 7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 A(1 + xy\\ W 其它. 0, 求：(1)系数A； (2) X的边缘概率密度fx (x): (3)概率P(Y 的性质可知 8 r 1 N /(x, y^dxdy = J dx^〔 A(1 + xy)dy = 4A = 1, 由此得 A =丄. 4 (2)当一lvxv 1 时，有 fx(兀)=匚[ ￥ dy = |: 当x<-\\或xni时，显然有
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