足条件的五位自然数中“下凸数”共有100?36?9?1?146个． 【考点】排列组合．
【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.
11．已知函数f?x?的定义域为?0,???，且满足f?x??xf??x??0（f??x?是f?x?的导函数），则不等式?x?1?fx?1?f?x?1?的解集为（ ）
2??A．???,2? 【答案】D
B．?1,???
C．??1,2? D．?1,2?
【解析】构造函数g?x??xf?x?，利用导数分析函数y?g?x?在?0,???上的单调性，在不等式?x?1?fx?1?f?x?1?两边同时乘以x?1化为
2???x2?1?f?x2?1???x?1?f?x?1?，即g?x2?1??g?x?1?，然后利用函数
y?g?x?在?0,???上的单调性进行求解即可.
【详解】
构造函数g?x??xf?x?，其中x?0，则g??x??f?x??xf??x??0， 所以，函数y?g?x?在定义域?0,???上为增函数， 在不等式?x?1?fx?1?f?x?1?两边同时乘以x?1得
2???x2?1?f?x2?1???x?1?f?x?1?，即g?x2?1??g?x?1?，
?x2?1?x?1?2所以?x?1?0，解得1?x?2，
?x?1?0?因此，不等式?x?1?fx?1?f?x?1?的解集为?1,2?，故选：D.
2??【点睛】
本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数y?g?x?；
（2）利用导数分析函数y?g?x?的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；
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（3）将不等式变形为g?x1??g?x2?，利用函数y?g?x?的单调性与奇偶性求解.
x?1? ,?x?0?e 212．已知函数f(x)??2，若方程f?x??bf?x??2?0有8个相异
???x?2x?1,x?0实根，则实数b的取值范围 A．??4,?2? 【答案】D
【解析】画出函数f?x?的图象如下图所示．由题意知，当x??1时，f??1??2；当
B．(?4,?22)
C．??3,?2?
D．(?3,?22)
x?1时，f?1??1．
设t?f?x?，则原方程化为t2?bt?2?0， ∵方程f2?x??bf?x??2?0有8个相异实根，
∴关于t的方程t2?bt?2?0在(1,2)上有两个不等实根．
2令g(t)?t?bt?2，t?(1,2)．
???b2?8?0?b??1???2，解得?3?b??22． 则?2?g(1)?b?3?0???g(2)?2b?6?0∴实数b的取值范围为?3,?22．选D．
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．
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??
二、填空题
13．登山族为了了解某山高y（km）与气温x??C?之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温x??C? 18 13 10 ?1 h 山高y（km）
24 34 38 ???2x??60(a??R)，则h?______ ． 由表中数据，得到线性回归方程y【答案】64
【解析】将x,y代入回归方程，即可求出h，得到答案. 【详解】
18?13?10?124?34?38?h96?h?10,y??，
44496?h???2x??60，即??2?10?60，解得h?64， 代入到线性回归方程y4由表格中的数据，可得x?故答案为：64． 【点睛】
本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
?xa?14．若(x?1)??展开式中的常数项是60，则实数a的值为_____． ?x??2【答案】?2
3?xa?6?rrr?6?rrT?【解析】先得到??的通项公式为若得到r?1(?1)?C6?2?a?x2，?x??266常数项，当(x?1)取1时，令6?再根据常数项为60求解. 【详解】
33r?0，当(x?1)取x时，令6?r??1，解得r，22?xa?因为??的通项公式为?x??2x?Tr?1?(?1)?C?????2?rr666?r36?r?a?rr?6?rr2， ????(?1)?C6?2?a?x?x?r第 8 页 共 19 页
若得到常数项，当(x?1)取1时，令6?33r?0，当(x?1)取x时，令6?r??1， 22解得r?4或r?所以r?4，
14（舍）， 3?xa?因为(x?1)???展开式的常数项为60， ?x??2所以(?1)?C6?2解得a??2． 故答案为：?2 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式以及常数项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
44?6?46?a4?60，
x2?y215．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为
x?y__________． 【答案】4
【解析】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，值为4.
16．若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线y?ln(x?1)的切线，则
＝
＝
＝x－y＋
≥4，则
的最小
b? ．
【答案】1?ln2
【解析】试题分析：对函数y?lnx?2求导得y??1，对y?ln(x?1)求导得xy??1，设直线y?kx?b与曲线y?lnx?2相切于点P1(x1,y1)，与曲线x?1y?ln(x?1)相切于点P2(x2,y2)，则y1?lnx1?2,y2?ln(x2?1)，由点P1(x1,y1)在切
线上得y??lnx1?2??1(x?x1)，由点P2(x2,y2)在切线上得x1y?ln(x2?1)?1(x?x2)，这两条直线表示同一条直线，所以x2?1第 9 页 共 19 页
，解得x1?11,?k??2,b?lnx1?2?1?1?ln2. 2x1【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y?y0＝f ′（x0）（x?x0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
三、解答题
17．若函数f(x)?ax3?bx?4，当x?2时，函数f(x)有极值?（1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程f(x)?k有三个零点，求实数k的取值范围．
4． 3【答案】（1）f(x)?13284?428?x?4x?4；（2）极大值，极小值?；（3）??,?
33333???f??2??0?【解析】（1）对函数进行求导，利用?4，解方程即可得答案；
f2?????3?'（2）对函数求导，令f(x)?0，并解导数不等式，即可得答案；
（3）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案； 【详解】
1?f??2??12a?b?0?a????2（1）f?x??3ax?b，由题意知?3，故所求4，解得?f2?8a?2b?4???????b?43?的解析式为f?x??（2）由（1）可得f13x?4x?4； 3??x??x2?4??x?2??x?2?，
令f??x??0，得x?2或x??2，列表如下：
x ???,?2? ?2 ??2,2? 2 ?2,??? 第 10 页 共 19 页
2019-2020学年河北省唐山市第一中学高二下学期期中数学试题(解析版)
