北京各区二模理科数学分类汇编
解析
(2015届西城二模)10．双曲线C ：
的离心率为 ；渐近线的方程为 ．
答案：
62,y??x 22x2y2(2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F1、F2分别为椭圆E：?2?1(a?b?0)的左、右焦点，点A 为2ab椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．
⑴ 若椭圆E 的离心率为
62，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交
于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>则
19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：设c?由题意，得a2解得a?2
a2?b2，
c6， ……………… 2分 ?a3?b2?4，且
3，b?1，c?2. ……………… 4分
x2所以椭圆E的方程为?y2?1. ……………… 5分
3x2y222（Ⅱ）解：由题意，得a?b?4，所以椭圆E的方程为2??1，
a4?a2 则F1(?c,0)，F2(c,0)，c? 由题意，知x0a2?b2?2a2?4. 设P(x0,y0)，
?c，则直线F1P的斜率kFP?1y0， ……………… 6分
x0?c 直线F2P的斜率kFP2?y0，
x0?cy?y0(x?c)， x0?c 所以直线F2P的方程为
当x?0时，y??y0c?y0cQ(0,)， ，即点
x0?cx0?c?y0c?x0， ……………… 8分
所以直线F1Q的斜率为kFQ1
因为以PQ为直径的圆经过点F1， 所以PF1?F1Q.
所以kFP?kFQ11?y0y?0??1， ……………… 10分
x0?cc?x0 化简，得
22y0?x0?(2a2?4)， ○1
又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，
22x0y0 所以2 ??1，x0?0，y0?0， ○22a4?aa2 由○1○2，解得x0?2 所以|OP|222?x0?y0?，
1y0?2?a2， ……………… 12分
212(a?2)2?2， ……………… 13分 2因为a2?b2?4?2a2，所以a2?2，
所以|OP|?2. ……………… 14分
(2015届海淀二模)
答案：((2015届海淀二模)
2,??)
（19）（共14分）
?2a?4,?解：（Ⅰ）依题意得?c?b,解得：a?2，b?c?2. ………………3分
?a2?b2?c2.?
x2y2??1. ………………5分 所以圆O的方程为x?y?2，椭圆C的方程为4222（Ⅱ）解法一：如图所示，设P(x0,y0)（y0?0）， Q(xQ,y0)，则
22?x0y022?1,????x0?4?2y0,2即?2 ?42?x2?y2?2,??xQ?2?y0.Q0?yNPQAMOBx ………………7分
2y0y0). (x?2)得M(0,又由AP:y?x0?2x0?2y?y02y0(x?2)得N(0,?).
x0?2x0?2………………10分
由BP: 所以
QM?(?xQ,2y0xy?y0)?(?xQ,?00),
x0?2x0?2QN?(?xQ,?2y0xy?y0)?(?xQ,?00).
x0?2x0?22Q 所以
2222x0y0(4?2y0)y02QM?QN?x?2?2?y0??0. 2x0?4?2y0 所以
QM?QN，即?MQN?90?. ………………14分
AP:y?k(x?2)（k?0）.
（Ⅱ）解法二：如图所示，设P(x0,y0)，
?x2y2?1,??由?4得2?y?k(x?2)?yNP(2k2?1)x2?8k2x?8k2?4?0.
所以
8k2?42?4k2?2x0?2，即x0?.
2k?12k2?1QAMOBx所以
2?4k24k4k,). ，即P(y0?2222k?12k?12k?1
所以 直线BP的斜率为
4k2k2?1??12?4k22k?22k2?1.
所以 令xBP:y??1(x?2). 2k1?0得:M(0,2k)，N(0,). ………………10分
k1设Q(xQ,y0)，则QM?(?xQ,2k?y0)，QN?(?xQ,?y0).
k所以
12k2?122QM?QN?x?(2k?y0)(?y0)?xQ?y0?2??y0.
kk2Q22xQ?y0?2,y0?因为
4k，
2k2?1所以 所以
QM?QN?0.
QM?QN，即?MQN?90?. ………………14分
(2015届东城二模)
25x2y22（12）若双曲线2?2?1(a?0,b?0)截抛物线y?4x的准线所得线段长为b，则a? ．答案：
5ab(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设于点M，与
32，且椭圆CA为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交
y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|?|AN|?2|OP|2．
（19）（共13分）
x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?a2?b2?c2,?3?c,由题意知??解得a?2，b?1．
a2??2a?4,?x2?y2?1．……………………………5分 所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设直线
AM的方程为：y?k(x?2)，则N(0,2k)．
由
?y?k(x?2)，2222得(1+4k)x?16kx?16k?4?0（*）． ?22?x?4y?4,
设
A(?2,0)，M(x1,y1)，则?2，x1是方程（*）的两个根，
2?8k2所以x1?． 21?4k2?8k24k,)． 所以M(1?4k21?4k216?16k241?k22?8k2?2?8k224k2 |AM|?(?)?()?2222(1?4k)1?4k21?4k1?4k
．
|AN|?4?4k2?21?k2．
41?k2?21?k28(1?k2)|AM||AN|??1?4k21?4k2 设直线OP的方程为：
由
．
y?kx．
?y?kx，22得(1?4k)x?4?0． ?22?x?4y?4,24设P(x0,y0)，则x0?1?4k24k2，y0?1?4k22．
4?4k2所以|OP|?1?4k228?8k2，2|OP|?1?4k22．
所以|AM|?|AN|?2|OP|2． ……………13分
(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．
ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
?4与x轴交于点N，PM?l于点M（M，N不重合），试问在x轴上
是否存在定点T，使得?PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．
（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x
(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，右焦点F(2,0)，点D(2,1)在椭圆上.
ab（I）求椭圆C的标准方程； (II) 已知直线l
:y?kx与椭圆C交于A,B两点，P为椭圆C上异于A,B的动点.
??1; 2（i）若直线PA,PB的斜率都存在，证明：kPA?kPB(ii) 若k?0，直线PA,PB分别与直线x?3相交于点M,N，直线BM与椭圆C相交
于点Q（异于点B）， 求证：A,Q,N三点共线.
北京各区2019届高三二模理科数学分类汇编-解析-含答案
