连续，在D解析，并且
F?z1??F?z2?，F??z??f??z??f?z2??f?z1?．
z2?z1根据罗尔定理可得至少存在一点z0?D，使得
F??z??f??z??f?z2??f?z1??0．
z2?z1即f??z??f?z2??f?z1?．
z2?z1定理4（柯西中值定理） 若函数f?z?与g?z?满足下列条件： (1)复函数f?z?与g?z?在有界闭区域D上连续； (2)复函数f?z?与g?z?在D解析； (3)f??z?与g??z?在D不同时为零；
(4)g?z1??g?z2?，z1与z2是D的两个定点z1?z2． 则至少存在一点z0?D，使得
证明 做辅助函数
F?z??f?z??f?z1??f?z2??f?z1??g?z??g?z1??． g?z2??g?z1?f??z0?f?z2??f?z1?． ?g??z0?g?z2??g?z1?易见F在D满足罗尔定理，故存在z0?D，使得
F??z0??f??z0??f?z2??f?z1?g??z0??0．
g?z2??g?z1?因为g??z0??0，所以，有
f??z0?f?z2??f?z1?． ??g?z0?g?z2??g?z1? 微分中值定理不仅在实数域建立了函数与导数的桥梁，在复数域也适用联系函数与导数．这使中值定理在函数性态研究中有了更全面的理论和更广
泛的应用．
3.2 利用复数域中值定理研究函数性质
例3.1 设函数f?z?在复数域D解析，并且?z?D，有f??z??0，证明f?z?在
D为常数．
证明 任取D的两个互异的点z1和z2，若z1z2含于D．与拉格朗日中值定理可得
f?z1??f?z2??f??z0?．
z1?z2____
由已知条件，f??z??0．所以，f?z1??f?z2?．z1z2含于D，在D中取有限个点?0?z1,??n?z2，使线段?j?1?j含于D中?j?1,2,?n?，有
f?z1??f??1???f??n??f?z2?．
___________
所以，f?z?在D为常数．
例3.2 若函数f和g在复数域D上连续，在D解析，D任取一点z0，使得
z0??z?D且有f??z0??g??z0?．则?z?D，有f(z)?g(z)?C，其中C是常数．
证明 函数f和g在复数域D上连续，在D解析，D取有两互异点z0和
z0??z．即点z0和点的点z0??z的连线在D．根据柯西中值定理，得
g?z0??g?z0??z?f?z0?-f?z0??z??g??z??f??z??，
其中z?在D．因为f??z???g??z??，所以，
f?z0??f?z0??z??g?z0??g?z0??z?．
即f?z0??g?z0??f?z0??z??g?z0??z?．
取f?z0??z??g?z0??z??C，则?z?D，有
f(z)?g(z)?C，C为常数．
小结 微分中值定理在复数域上仍然成立，罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理与二元函数中值定理有类似的形式．证明也是采用了构造“辅助函数”的方法．在利用导数研究函数性态中，复数域上微分中值定理同样起到了桥梁作用．
微分中值定理不仅在实数域中是研究函数性质的有力工具，在复数域中中值定理仍有形式近似的相关结论，并且对研究复数域函数性质也有所帮助．因此解析函数的微分中值定理为应用导数研究解析函数的性质提供了新的工具，构建了有用的平台．
结 论
经过对微分中值定理的探究，对中值定理有了进一步的认识，整篇文章归纳为以下几点：
(1)本文将一元函数罗尔中值公式、拉格朗日中值公式、柯西中值公式、泰勒中值公式都统一于一个中值公式．从这个公式重新认识了微分中值定理．
(2)二元函数微分中值定理同样包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理．罗尔中值公式和拉格朗日中值公式都可以统一于柯西中值公式．
(3)n元函数微分中值定理的表述形式与二元函数微分中值定理的形式类似，都是函数值的改变量与各偏导数与对应增量乘积的关系．定理证明是通过构造辅助函数的方法完成的．
(4)微分中值定理在复数域的推广得到了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理．
(5)不论是一元函数二元函数还是n元函数，或是复数域上微分中值定理，定理的证明都采用了构造“辅助函数”的方法并将其转化为一元函数得以完成．
致
在本次论文的撰写过程中，我得到了 老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高； 老师高度的敬业精神和责任感值得我学习．在此，我对徐老师表示诚挚的感以及真心的祝福．
参考文献
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傅里叶级数及其指导应用论文设计
