高中数学第三章空间向量与立体几何3-2立体几何中的向量
方法2学案含解析新人教A版选修2_1
[提出问题]
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上
的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？ 提示：设异面直线AC与BD所成角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|.
问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？ 提示：设地面的法向量为n， 则sin α＝|cos〈，n〉|.
问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β？ 提示：cos β＝cos〈，〉． [导入新知]
1．空间角及向量求法
角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向异面直线所成的角 向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝?π??0，? ?2?范围 直线与平面所成的角 |a·b||a||b|设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ?π??0，? 2?? |a·n|＝|cos〈a，n〉|＝|a||n|设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，二面角 β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，[0，π] n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|2．空间距离的向量求法
分类 两点距 向量求法 设A，B为空间中任意两点，则d＝|AB| |BA―→·n|点面距 设平面α的法向量为n，B?α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝ |n|[化解疑难]
1．若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所成的角为θ，则当〈a，n〉∈0，时，θ＝－〈a，n〉；当〈a，n〉∈，π时，θ＝〈a，n〉－.
2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意判断二面角是锐角还是钝角．
3．点到平面的距离的实质，就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值．
求两异面直线所成的角 [例1] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )
A．45° C．90°
B．60° D．120°
[解析] 不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋， ∴||＝|－BA―→|＝，||＝，
―→
EF·＝(－BA―→)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝·,||·||)＝＝，∴〈，〉＝60°. 即异面直线EF与BC1的夹角是60°. [答案] B [类题通法]
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|.
[活学活用]
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1，1,2)， 则＝(－1,0,2)，
―→
CF＝(1，－1,2)，
∴||＝，||＝.
―→
AE·＝－1＋0＋4＝3.
∴cos〈，〉＝·,||·||)＝，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.
求直线与平面所成的角 [例2] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
高中数学第三章空间向量与立体几何3-2立体几何中的向量方法2学案含解析新人教A版选修2_1
