1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
1994年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) a+b=c (C) a+b
2、给出下列两个命题：⑴ 设a，b，c都是复数，如果a+b>c，则a+b－c>0；⑵设a，b，c都是复数，如果a+b－c>0，则a+b>c．那么下述说法正确的是
(A)命题⑴正确，命题⑵也正确 (B)命题⑴正确，命题⑵错误 (C)命题⑴错误，命题⑵也错误 (D)命题⑴错误，命题⑵正确
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3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的
125最小整数n是
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
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πlogbsinalogbcosalogbcosa4、已知0 4 (A)x 5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( n－2n－1πn－2n－1 π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) nn2nn|x+y||x－y| 6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 2a2b (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题9分，共54分) 1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为 - 1 - －1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ1 1994年全国高中数学联赛 冯惠愚 的延长线相交，则m的取值范围是 ． ?x+sinx－2a=0， 2．已知x，y∈[－，]，a∈R且?3则cos(x+2y) = ． 44?4y+sinycosy+a=0 ππ3 52522222 3．已知点集A={(x，y)|(x－3)+(y－4)≤()}，B={(x，y)|(x－4)+(y－5)>()}，则点集A∩B22中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ． 4．设0<θ<π，，则sin(1+cosθ)的最大值是 ． 2 5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα= ． 6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和 θa1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ． - 2 - 2 1994年全国高中数学联赛 冯惠愚 第二试 一、(本题满分25分) x的二次方程x+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z1－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值. 二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 E 2 2 三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60?,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E． 证明:(1) IO=AE； (2) 2R - 3 - A O I B C 3 1994年全国高中数学联赛 冯惠愚 四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)． (1)求m(G)的最小值m0． (2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形． - 4 - 4 1994年全国高中数学联赛 冯惠愚 1994年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) a+b=c (C) a+b 解：asinx+bcosx+c=a+bsin(x+φ)+c∈[－a+b+c，a+b+c]．故选C． 2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a+b>c，则a+b－c>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a+b－c>0，则a+b>c．那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a+b>c，成立时，a+b与c都是实数，故此时a+b－c>0成立； ⑵ 当a+b－c>0成立时a+b－c是实数，但不能保证a+b与c都是实数，故a+b>c不一定成立．故 选B． 1 3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的 125最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 11 解：(an+1－1)=－(an－1)，即{ an－1}是以－为公比的等比数列， 33 1n1－(－)31n－11n11 ∴ an=8(－)+1．∴ Sn=8·+n=6+n－6(－)，?6·n<，?n≥7．选C． 3133125 1+3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 πlogbsinalogbcosalogbcosa4、已知0 4 大小关系是 (A)x - 5 - 5
1994年全国高中数学联赛试题及解答
