第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中．．．．．自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、．．．．直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
nn
3．（1）含n个元素的集合的子集数为2,真子集数为2－1；非空真子
n
集的数为2－2；
（2）A?B?A?B?A?A?B?B; 注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情况。
4．?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(－x)=－f(x)；f(x)是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
a?ba2?b2⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ab?； ⑦利用数形?22结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、
xsinx、cosx等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不
1 / 21
①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有
f(x1)?f(x2)；
②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有
f(x1)?f(x2)；
⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期
①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??； ④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T?2?|?| ；
⑤y?tan?x:T??|?|； (3)与周期有关的结论
f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期
为2a；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：y?x? （??R) ；⑵指数函数：y?ax(a?0,a?1)； ⑶对数函数:y?logax(a?0,a?1)；⑷正弦函数:y?sinx； ⑸余弦函数：y?cosx ；（6）正切函数：y?tanx；⑺一元二次函数：
ax2?bx?c?0；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?kx(k?0)；③函数y?x?ax(a?0)； 9．二次函数： ⑴解析式：
①一般式：f(x)?ax2?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，(h,k)为顶点；
③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数y?ax2?bx?c的图象的对称轴方程是x??b2a，顶点坐标是????b4ac?b2?2a，4a??。 10．函数图象： ??⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右
“－”；
ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+”下“－”； ② 对
称
变
换
：ⅰ
y?f(x)?(?0?,0)?y??f(?x)；
ⅱy?f(x)?y??0?y??f(x)；
ⅲ
y?f(x)?x???0y?f(?x)；
ⅳy?f(x)?y????xx?f(y)； ③ 翻转变换：
ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；
ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然；
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0 ③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=
a?b2对称； 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称； 12．函数零点的求法：
⑴直接法（求f(x)?0的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 13．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作
y?f(x0??x)?f(x0)x?x；
0?f?(x0)??limx?0?x⑵常见函数的导数公式: ①C'?0；②(xn)'?nxn?1；
③(sinx)'?cosx；④(cosx)'??sinx；⑤(ax)'?axlna；
⑥(ex)'?ex；⑦(log'1'1ax)?xlna；⑧(lnx)?x 。
⑶导数的四则运算法则：
(u?v)??u??v?;(uv)??u?v?uv?;(uu?v?uv?v)??v2;
⑷（理科）复合函数的导数：y?x?y?u?u?x; ⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？ ②利用导数判断函数单调性：
①f?(x)?0?f(x)是增函数；②f?(x)?0?f(x)为减函数；③f?(x)?0?f(x)为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数f?(x)；ⅱ）求方程f?(x)?0的根；ⅲ）列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：?弧度?180?，1???180弧度，1弧度
?(180)??57??18'
⑵弧长公式：l??R；扇形面积公式：S?12?R2?12Rl。 2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为(x,y),设|OP|?r则：sin??yxr,cos??r,tan??yx 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
?5．⑴y?Asin(?x??)对称轴：?x???k??2；对称中心：
(k????,0)(k?Z)； ⑵y?Acos(?x??)对称轴：
?x???k?；对称中心：
k???2??(?,0)(k?Z)；
6．同角三角函数的基本关系：sin2x?cos2x?1;sinxcosx?tanx； 7．三角函数的单调区间：
y?sinx的递增区间是???2k???2，2k????2??(k?Z)，
递减区间是???2k???2，2k??3??2??(k?Z)；y?cosx的递增区间是?2k???，2k??(k?Z)，递减区间是?2k?，2k????(k?Z)，
y?tgx的递增区间是???k???2，k????2??(k?Z)，y?ctgx的递减
区间是?k?，k????(k?Z)。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin(???)?sin?cos??cos?sin?; ②cos(???)?cos?cos??sin?sin?;③
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan? 。
9．二倍角公式：①sin2??2sin?cos?；
②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；③tan2??2tan?1?tan2?。
(sin??cos?)2?1?2sin?cos??1?sin2?
10．正、余弦定理： ⑴正弦定理：asinA?bsinB?csinC?2R （2R是?ABC外接圆直径 ）
注：①a:b:c?sinA:sinB:sinC；②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；③
asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC。 ⑵余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA等三个；
b2?c2?a2cosA?2bc等三个。
sin??????sin??? cos?????cos? tan??????tan? sin2?cos2?1
sin????????2?????cos? sin??2?????cos? cos????2?????????sin? cos??2??????sin? tan???????1 tan???1?2??tan??2???????tan?sin??????sin? sin???????sin? cos???????cos? cos???????cos? tan???????tan? tan??????tan? f?x??Asin??x??? ?A?0,??0?
周期：T?2?? 频率：f?1T
0° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 ????6 4 3 2 sin 0 1232 2 2 1 cos 1 322 12 2 0 tan 0 33 1 3
11。几个公式:
⑴三角形面积公式：S1?ABC?2ah?12absinC； ⑵内切圆半径r=2S?ABC；外接圆直径2R=
asinA?bca?b?csinB?sinC; 第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2?rh；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=?rl；③体积：V=
13
S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=?(r?r')l;③体积：
V=1（S+SS'3?S'）h； ⑷球体：①表面积：S=4?R2；②体积：V=433?R 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。 ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:
cos??|cos?a,b?|
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
sin??|cos?AB,n?|
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离） 点到平面的距离：①等体积法；②向量法：d?|AB?n||n|。
6．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为
a22ab+2bc+2ca，体积V=abc。
?b2?c2，全面积为⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2
，体积V=a3
。
3a⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。 ⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的： ① 高：h?623a；②对棱间距离：2a；③内切球半径：612a；④外接球半径：
64a。 第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式：y?y??k(x?x?) ；⑵斜截式：y?kx?b ；⑶截距式：
xa?yb?1 ；
⑷两点式：y?y1x?x1y?x ；⑸一般式：Ax?By?C?0，（A，2?y1x2?1B不全为0）。
2．求解线性规划问题的步骤是： （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
l1:y?k1x?b1l?b2 k1?k2??1 l1,l22:y?kk1?k2,b12x?b 2有斜率
已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。 4．几个公式 ⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（
x1?x2?x3y1?y2?y33,3）； ⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：d?Ax0?By0?C； A2?B2⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是d?C1?C2；
A2?B25．圆的方程：
⑴标准方程：①(x?a)2?(y?b)2?r2 ；②x2?y2?r2 。 ⑵一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 （D2?E2?4F?0) 注：Ax2
+Bxy+Cy2
+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D2
+E2
－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离） ①d?R?点在圆上；②d?R?点在圆内；③d?R?点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）
①d?R?相切；②d?R?相交；③d?R?相离。
⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R?r）①d?R?r?相离；②d?R?r?外切；
③R?r?d?R?r?相交；
④d?R?r?内切；⑤0?d?R?r?内含。 8、直线与圆相交所得弦长|AB|?2r2?d2 第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)； ⑵双曲线：||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)；⑶抛物线：
|MF|=d 2．结论
⑴焦半径：①椭圆：PF1?a?ex0,PF2?a?ex0（e为离心率）； （左“+”右“-”）；
②抛物线：PF?x0?p2 ⑵弦长公式：AB?1?k2?x22?x1?(1?k)[(x1?x2)2?4x1x2] 注：⑴抛物线：AB＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：
2b2；②抛物线：2p。
a⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2?ny2?1 （m,n同时大于0时表示椭圆，mn?0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时?F1PF2最大； ⑷双曲线中的结论：
①双曲线x2222?yx?y2?1（a>0,b>0）的渐近线：22?0； a2bab②共渐进线y??bax的双曲线标准方程为x2a2?y2b2??(?为参数，?≠0）；
③双曲线为等轴双曲线?e?2?渐近线为y??x?渐近线互
相垂直；
⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：
①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得k1?y2AB?yx?x???；
12③解决问题。
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a∥b(b≠0)?a=?b
（??R)?x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos
注：①|a|cos
① a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b
|cos
a?b；
|a||b|2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列 通
项
公
式
an?a1?(n?1)d
⑷三点共线的充要条件：P，A，B
三点共线
?OP?xOA?yOB且x?y?1；
（理科）P，A，B，C四点共面?OP?xOA?yOB?zOC,且x?y?z?1。
第八部分 数列
1．定义： ⑴等差数列
an｝?an?1?an?d(d为常数）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
?an?kn?b?sn?An2?Bn；
⑵等比数列
an?1n}?aa?q(q?0)?a2n?an-1?an?1(n?2,n?N) n
an?1n?a1q
前
n项
和
S(a1?an)n(n?1)n?n2?na1?2d 1.q?1时，Sn?na1;2.q?1时，Sa1(1?qn)n? 1?q?a1?anq1?q性质 ①an-m
n=am+ (n－m)d, ①an=amq;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③
Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?成AP
③Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?成GP
④ak,ak?m,ak?2m,?成AP,d'?md ④ak,ak?m,ak?2m,?成GP,q'?qm
｛｛3．数列通项的求法：
⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（an?1?an?cn型）；⑶公式法： ⑷累乘法（
an?1a?cn型）
；⑸构造法（an?1?kan?b型）； n⑺间接法（例如：a1n?1?an?4anan?1?a?1a?4）
；⑻（理科）nn?1数学归纳法。
4．前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。 5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴??an?0??或?an?0? ；⑵利用二次函数的图象与性质。 ?an?1?0???a??n?1?0?? 第九部分 不等式
a?ba2?b21．均值不等式：ab?2?2 (a?b22a?b2注意：①一正二定三相等；②变形，ab?2)?2。 2．绝对值不等式：||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 3．不等式的性质：
⑴a?b?b?a；⑵a?b,b?c?a?c；
⑶a?b?a?c?b?c；a?b,c?d
aS1 (n=1) n= ?aSn?－cSn-1 ?b ?(nd≥；2) ⑷a?b,c?0?ac?bd；
a?b,c?0?ac?bc；a?b?0,c?d?0 ?ac?bd;⑸a?b?0?an?bn?0(n?N?);⑹a?b?0?na?nb(n?N?)
线性规划类：
?n?n?n??n????xiyi???xi???yi?*??b?i?1?i?1??i?1??nn2?n?x2?? i???xi??i?1?i?1???a?y?bx?n?x??xi?x??yi?y??**???iyi?nxy?i?1?b?n2???x2i?nxi??n?x?x?2
i?1i?1??a?y?bx导数类：
?kx?b?,?k C,?0（C为常数） x,?1 ?,x2?,?2x ??1?1??1?x????x2
?x??,??x
?ax?,?axlna?a?0,且a?1? ?ex?,?ex
?logax?,?1logae1x?xlna?a?0,且a?1? ?lnx?,?1x ?sinx?,?cosx ?cosx?,??sinx ?f?x??g?x??,?f,?x??g,?x??Cf?x??,?Cf,?x??C为常数? ?f?x?g?x??,?f,?x?g?x??f?x?g,?x?
?f?x??,?f,?x?g?x??f?x?g,?x??g?x????g2?x??g?x??0?
第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R?b=0 (a,b∈R)?z=z? z2
≥0；⑵z=a+bi是虚数?b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)?z＋z＝0（z≠0）?z2<0；
⑷a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，
则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z(a?bi)(c?di)1÷z2 =(c?di)(c?di)?
ac?bdbc?adc2?d2?c2?d2i (z2≠0) ;
3．几个重要的结论：
(1)z2?z222?z?z2?z2；⑶(1?i)21?z21?z2?2(z1?z2);(2)z??2i；
⑷1?i1?i?i;1?i1?i??i;
⑸i性质：T=4；i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i；i4n?i4n?1?i4?2?i4n?3?0;
4．模的性质：⑴|z1z2|?|z1|z1|1||z2|；⑵|zz|?；⑶|zn|?|z|n。 2|z2|第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作A?B； ⑵事件A与事件B相等：若A?B,B?A，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作A?B（或A?B）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作A?B（或AB） ；
⑸事件A与事件B互斥：若A?B为不可能事件（A?B??），则事件A与互斥；
﹙6﹚对立事件：A?B为不可能事件，A?B为必然事件，则A与B互为对立事件。 2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：P(A)?A包含的基本事件的个数基本事件的总数；
⑶几何概型：
P(A)?构成事件A的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等） ；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为
nN； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?nN 2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数nx?1n(x1?x2?????xn)?1n?xi；
i?1⑵样本方差2nS?1n[(x1?x)2?(x2?x)2?????(x2n?x)]?1n?(x?x)2i ；
i?1⑶样本标准差nS?1[(x1?x)2?(x12?x)2?????(xn?x)2]=?(xi?x)2 ；
nni?13．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
ni?x)(yi?y)r??(xi?1nn
?(x2i?x)2yi?y)i?1?(i?1注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．回归分析中回归效果的判定： n⑴总偏差平方和：
?(yi?y)2??⑵残差：ei?yi?yi；⑶残差平方i?1；
n?和：
?(yi?yi)2 ；
i?1?n2n?⑷回归平方和：
(yi?y)－(yi?yi)2；⑸相关指数i?1?i?1n?i?yi)2R2?1??(yi?1?n 。
(yi?yi)2i?1
注：①R2得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②R2越接近于1，，则回归效果越好。 5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十三部分 算法初步 1．程序框图： ⑴图形符号： ① 终端框（起止况）；② 输入、输出框； ③ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否 求n除以i的余数
输入n 是 n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
i?n或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，
再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1． 四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p； ⑶否命题：若?p则?q； ⑷逆否命题：若?q则?p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件； 3．逻辑连接词： ⑴且(and) ：命题形式 p?q； p q p?q p?q ?p ⑵或（or）：命题形式 p?q； 真 真 真 真 假 ⑶非（not）：命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示； 全称命题p：?x?M,p(x)；
全称命题p的否定?p：
?x?M,?p(x)。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示； 特称命题p：?x?M,p(x)；
特称命题p的否定?p：
?x?M,?p(x)；
第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；
⑵小前提---------所研究的特殊情况； ⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推
证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因
此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n取第一个值n0是命题成立；
⑵假设当n?k(k?n0,k?N?)命题成立，证明当n?k?1时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
② n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=n!(n?m)!(m≤n,m、n∈N*),
当m=n时为全排列Ann=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式：CmAmn?(n?1)???(n?nn?m?1)（m≤n）,m!?m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
0nCn?Cn?1；
P mnP1 P2 … Pn … ⑶组合数性质：C⑷二项式定理：
?Cn?mn;C?Cmnm?1n?Cmn?1；
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; 方差：DX＝
0n1n?11kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)
rn?rr①通项：Tr?1?Cnab(r?0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系
(x1?EX)2p1?(x2?EX)2p2?????(xn?EX)2pn???? ;
注：E(aX?b)?aEX?b;D(aX?b)?a2DX； ③二项分布（独立重复试验）：
若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注：
kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k 。
数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第
nn?1n?1＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和222＋1项）二项式系数最大； ③
⑵条件概率：称P(B|A)?P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发生P(A)C?C?C?????C?2;C?C?????C?C?????2;
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量： X x1 X2 … xn … 0n1n2nnnn0n2n1n3nn?1的概率。
注：①0?P（B|A）?1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。 ⑷正态总体的概率密度函数：f(x)?12??e?(x??)22?2,x?R,式中?,?是
参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； （6）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝
? 对称；
=
11111abca?ha=absinC=bcsinA=acsinB==2R22224R③曲线在x＝?处达到峰值
?2?；④曲线与x轴之间的面积为1；
① 当?一定时，曲线随?质的变化沿x轴平移；
② 当?一定时，曲线形状由?确定：?越大，曲线越“矮胖”，表
示总体分布越集中；
?越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P(????x????)=0.6826；P(??2??x???2?)=0.9544
P(??3??x???3?)=0.9974
三角函数公式
1.正弦定理：asinA=bsinB=csinC= 2R （R为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosBc
2=a
2+b
2-2abcosCb2?c2?a2cosA?2bc
3.S
⊿
2sinAsinBsinC
=
a2sinBsinCb2sinAsinC2sinAsinB2sinA=
2sinB=
c2sinCp(p?a)(p?b)(p?c)
(其中p?12(a?b?c), r为三角形内切圆半径)
4.诱导公试 sin cos tan cot -? -sin? +cos? -tg? -ctg? ?-? +sin? -cos? -tg? -ctg? ?+? -sin? -cos? +tg? +ctg? 2?-? -sin? +cos? -tg? -ctg? 2k?+? +sin? +cos? +tg? +ctg?
=pr=
三角函数值等于?的同名三角函数值，前面加上一个把?看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等
sin cos tan cot 于
?的
?2?? +cos? +sin? +ctg? +tg? 异名三?2?? +cos? -sin? -ctg? -tg? 角函数值，前面3?加上一2?? -cos? -sin? +ctg? +tg? 个把?看作锐3?-cos? +sin? -ctg? -tg? 角时，原2?? 三角函数值的
符号;即：函数名改变，符号看象限
5.和差角公式
①
sin(???)?sin?cos??cos?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?
③tg(???)?tg??tg?1?tg??tg? tg??tg??tg(???)(1?tg??tg?)
6.二倍角公式：(含万能公式)
①sin2??2sin?cos??2tg?1?tg2? ②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2??1?tg2?1?tg2?③tg2??2tg?2tg2?1?cos2?1?tg2? ④sin??1?tg2??2 ⑤
②
④
cos2??1?cos2?2
7.半角公式：（符号的选择由?2所在的象限确定）
①sin?1?cos?2?cos?2??2 ②sin2?1?2cos?2??1?cos?2 ④cos2?2?1?cos? ⑤1?cos??2sin2?221?cos??2cos2?2
⑦1?sin??(cos??sin?)2??22?cos2?sin2
⑧tg?cos?sin?1?cos?2??1?1?cos??1?cos??sin?
8.积化和差公式：
sin?cos??12?sin(???)?sin(???)?cos?sin??12?sin(???)?sin(???)?
cos?cos??12?cos(???)?cos(???)?sin?sin???1?cos(???)?cos??????③
2
9.和差化积公式：
①
sin??sin??2sin???2cos???2 ⑥sin??sin??2cos??????2sin2
③cos??cos??2cos???2cos???2 ④cos??cos???2sin??????2sin2
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高中数学三角函数公式大全
