_1.1
1．1.1 平均变化率
导数的概念
假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？
提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.
问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？ Δy
提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．
ΔxΔyy1－y0
问题3：试想＝的几何意义是什么？
Δxx1－x0Δyy1－y0
提示：＝表示直线AB的斜率．
Δxx1－x0
ΔyΔy
问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？
ΔxΔxΔy
提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．
Δx
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为
f?x2?－f?x1?
. x2－x1
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x1，x2]上有意义；
f?x2?－f?x1?(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
x2－x1
(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．
[对应学生用书P3]
求函数在某区间的平均变化率
[例1] (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．
[精解详析] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f?2.1?－f?2??3×2.12＋2?－?3×22＋2?
＝＝12.3.
0.12.1－2
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为[3×?－1?－2]－[3×?－2?－2] ?－1?－?－2?
＝
?－5?－?－8?
＝3.
－1＋2
g?－1?－g?－2?
＝
?－1?－?－2?
[一点通] 求函数平均变化率的步骤为：
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.1.1 平均变化率(含答案)
