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不等式解法
一、考试方向
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.
2.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题. 3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题. 二、能力要求
掌握一元二次不等式的解法,带参数的一元二次不等式问题,分式不等式、绝对值不等式的求解。 三、基础知识点 1.一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0),如果a与ax2?bx?c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2?bx?c异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2); x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 2.绝对值不等式的求解
①a?0时,|f(x)|?a?f(x)?a或f(x)??a;|f(x)|?a??a?f(x)?a; ②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法;
③根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式. 3.分式不等式的求解
同解变形是解不等式应遵循的主要原则,高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次或一元二次不等式,因此,等价转化是解不等式的主要思路;不等式组的解是本组各不等式解集的交集,取交集时,一定要将各不等式的解集在同一数轴上标出来,不同不等式解集的示意线最好在高度上有所区别.
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.
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四、经典题型
类型1 一元二次不等式求解
例1.一元二次不等式x2-7x+12<0, -2x2+x-5>0, x2+2>-2x的解集分别是
M、N、P,则M、N、P之间的包含关系是 ( ) A.N ?M?PB. M?N?P C. N ?P?MD. M?P?N
例2若a <-1,则不等式(x?a)(x?)?0的解集是 . 1a例3、不等式x2?x?3?0的解集是_________。
2 不等式2x?2x?4?1的解集为 _________ . 2类型2 带参数的一元二次不等式问题
11?例1.若不等式ax2?bx?2?0的解集为??x??x??,则a-b= ( )
?23?A.-10 B. -14
C. 10 D. 14
例2、若不等式x2?ax?b?0的解是2<x<3,求不等式bx2?ax?1?0的解集。 例3.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)??2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)?6a?0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
例4、若关于x的不等式2x2?8x?4?a?0在1?x?4内有解,则实数a的取值范围是().
A.a??4B.a??4C.a??12D.a??12
例5、二次不等式ax2?bx?c?0的解集是全体实数的条件是 ( )
?a?0?a?0?a?0?a?0A ? B? C? D? ???0???0???0???0
例6.若不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0的解集为R,则a的取值范围是( )
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A. a?2 B. ?2?a?2 C. ?2?a?2 D. a?2
例7.函数y?lg(ax2?x?1)的值域为R,则a的取值范围是. 例8.设a?R,函数f(x)?ax2?2x?2a.若f(x)?0的解集为A,B??x|1?x?3?,AB??,求实数a的取值范围。
例9.奇函数f(x) 在其定义域(-2,2)上是减函数,且f(1?a)?f(1?a2)?0,求实数a的取值范围. 类型3 绝对值不等式求解
例1.不等式1?|2x?1|?2的解集为()
1313(A)(?,0)[1,)(B){??x?0且1?x?}
22221313(C)(?,0][1,)(D){??x?0且1?x?}
2222例2.不等式例3.解不等式
的解集是_____________。
>0.
类型4 带参数的绝对值不等式问题
例1..若对任意x?R,不等式x≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( ) (A)a<-1 (B)a≤1 (C)a<1 (D)a≥1
例2.已知集合A?{x||x?1|?a},B?{x||x?3|?4},且AB??,则a的取值范围是. 例3.不等式|x?4|?|x?3|?a的解集不是空集,则a的取值范围是. 类型5 分式不等式求解
x?2≤0的解集是( ) x?1A.(??,?1)(?1,2]B.[?1,2]C.(??,2] ?1)[2,??)D.(?1,11
例2.不等式?的解集是( )
x2
A.(??,2) B.(2,??) C.(0,2) D.???,0??(2,??)
2?x?1的解集是 ( ) 例3.不等式
x?2例1.不等式
(A)(?3,?2)(0,??)(B)(??,?3)(?2,0)(C)(?3,0)(D)(??,?3)(0,??)
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高三一轮复习之不等式的解法
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