1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编
数论部分
2019A 5、在1,2,3,,10中随机选出一个数a，在?1,?2,?3,,?10中随机选出一个数
b，则a2?b被3整除的概率为 ．
◆答案：
37 100★解析：首先数组?a,b?有10?10?100种等概率的选法． 考虑其中使a2?b被3整除的
选法数N．①若a被 3 整除，则b也被 3 整除．此时a,b各有3种选法，这样的?a,b?有
3?3?9组．若a不被 3 整除，则a2?1?mod3?，从而b??1?mod3?．此时a有7 种选法，b有4种选法，这样的?a,b?有7?4?28组． 因此N?9?28?37．于是所求概率为
2019A三、（本题满分 50 分）设m为整数，m?2．整数数列a1,a2,37。 100满足：a1,a2不全为
零，且对任意正整数n，均有an?2?an?1?man．证明：若存在整数r,s, (r?s?2 )使得ar?as?a1，则r?s?m．
★解析：证明：不妨设a1,a2互素（否则，若?a1,a2??d?1，则??a1a2?,??1互素，并且用dd??a1a2,,dd代替a1,a2,，条件与结论均不改变）．
由数列递推关系知a2?a3?a4??modm?． ①
以下证明：对任意整数n?3，有an?a2???a1??n?3?a2??m?modm?． ② ………10 分 事实上，当n?3时②显然成立．假设n?k时②成立（其中k为某个大于2的整数），注意到①，有mak?1?ma2?modm2?，结合归纳假设知
2ak?1?ak?mak?1??a?k?3am?ma?a?a?k?2amodm????????? 222212????，即n?k?1时②也成立．因此②对任意整数n?3均成立． ………………20 分
注意，当a1?a2时，②对n?2也成立． 设整数r,s, (r?s?2 )，满足ar?as?a1． 若a1?a2，由②对n?2均成立，可知
2a2???a1??r?3?a2??m?ar?as?a2???a1??s?3?a2??m?modm?
即a1??r?3?a2?a1??s?3?a2?modm?，即 ?r?s?a2?0?modm?． ③ 若a1?a2，则ar?as?a1?a2故r?s?3．此时由于②对n?3均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明a2,m互素．
事实上，假如a2与m存在一个公共素因子p ，则由①得p为a2,a3,互素，故p/|a1，这与ar?as?a1矛盾．
因此，由③得r?s?0?modm?．又r?s，所以r?s?m． ………………50分
2018A四、（本题满分50分）数列?an?定义如下：a1是任意正整数，对整数n?1，an?1与素，且不等于a1,a2,?,.an的最小正整数，证明：每个正整数均在数列?an?中出现。
★证明：显然a1?1或者a2?1.下面考虑整数m?1，设m有k个不同的素因子，我们对k归纳证明m在?an?中出现.记Sn?a1?a2???an，n?1.
的公因子，而a1,a2?ai?1ni互
k?1时，m是素数方幂，记m?p?，其中??0，p是素数.假设m不在?an?中出现.由于?an?各
?|Sn，那么p?项互不相同，因此存在正整数N，当n?N时，都有an?p.若对某个n?N，p????与Sn互素，又a1,a2,?,.an中无一项是p，故有数列定义知an?1?p，但是an?1?p，矛盾！
因此对每个n?N，都有p|Sn.又p|Sn?1，可得p|an?1，从而an?1与Sn不互素，这与an?1的定义矛盾！
假设k?2，且结论对k?1成立.设m的标准分解为m?p11p22?pkk.假设m不在?an?中出现，
???//于是存在正整数N，当n?N时，都有an?m.取充分大的正整数?1,?2,??k?1，使得
?k?1?2maxM?p1?1p2?pk?1?1?n?N/an.
/我们证明，对n?N，有an?1?M.
/对于任意n?N，若Sn与p1p2?pk互素，则m与Sn互素，又m在a1,a2,?,.an中均未出现，而
an?1?m，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意n?N/，Sn与p1p2?pk不互素?， |an?1，⑴若存在i（1?i?k?1），使得pi|Sn，则?an?1,Sn??1，故pi?从而an?1?M（因为pi|M）。
|Sn，则由?知，必有pk|Sn.于是pk?|an?1，进而⑵若对每个i（1?i?k?1），均有pi?pk?|Sn?an?1，即pk?|Sn?1.故由?知：存在i0（1?i0?k?1），使得pi0|Sn?1，再由Sn?1?Sn?an|an?1，故an?1?M。 |Sn，可知pi0?及前面的假设pi?/k?1max因此，对n?N?1，均有an?M，而M?p11p22?pk?1?1?n?N/an，故M不在?an?中出现，
???这与假设矛盾！因此，若m有k个不同的素因子，则m一定在数列?an?中出现. 由数学归纳法知，所以正整数均在数列?an?中出现。
2018B四、（本题满分50分）给定整数a?2。证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续nkk个数a?1，a?2,?,a?n均是合数。
k★证明:设i1?i2???ir是1,2,?,n中与a互素的全体整数，则1?i?n，i??i1,i2,?,ir?，无论正整数k如何取值，a?i均与a不互素且大于a，故a?i为合数。 对任意j?1,2,?,r，因a?ij?1，故a?ij有素因子pj.
我们有pj,a?1（否则，因pj是素数，故pj|a，但pj|a?ij，从而pj|ij，即a与ij不互素，与ij的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，ap?1kk???1?modpi?
现取k??p1?1??p2?1???pr?1??1，对任意j?1,2,?,r，注意到k?1modpj?1，故有
??ak?ij?a?ij?0?modpj?.又ak?ij?a?ij?pj，故ak?ij为合数。
kk综上所述，当k??p1?1??p2?1???pr?1??1时，a?1，a?2,?,a?n均是合数。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75
k★解析：考虑平稳数abc。
①若b?0，则a?1，c??0,1?，有2个平稳数；
1,2?，c??0,1,2?，有2?3?6个平稳数； ②若b?1，则a??③若b??2,8?，则a，c??b?1,b,b?1?，有7?3?3?63个平稳数； ④若b?9，则a,c??8,9?，有2?2?4个平稳数；
综上可知，平稳数的个数为2?6?63?4?75。
2017B 8、若正整数a,b,c满足2017?10a?100b?1000c，则数组(a,b,c)的个数为 ◆答案：574
2017]?2，当c?1时，有10?b?20，对于每个这样的正整数b，由100010b?a?201知，相应的a的个数为202?10b，从而这样的正整数组的个数为20(102?2)?11(202?10b)??572， ?2b?1020172017]，知，b?20，进而200?a?[]?201， 当c?2时，由20?b?[10010故a?200,201，此时共有2组(a,b,c).
综上所述，满足条件的正整数组的个数为572?2?574.
★解析：由条件知c?[
2016A 8、设a1,a2,a3,a4是1,2,3,?,100中的4个互不相同的数，满足
?a2122222?a2?a3a2?a3?a4?(a1a2?a2a3?a3a4)2，则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数
???为 ◆答案：40
1222222★解析：由柯西不等式知，(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)，等号成立的充
a1a2a3??，即a1,a2,a3,a4成等比数列．于是问题等价于计算满足a2a3a4{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,…,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数．设等比数列的公比q?1，且q为
n有理数．记q?，其中m,n为互素的正整数，且m?n．先考虑n?m的情况．
ma1n3a1n333m,nl?此时a4?a1()?，注意到互素，故为正整数． 相应地，a1,a2,a3,a4分别33mmmn3223等于ml,mnl,mnl,nl，它们均为正整数．这表明，对任意给定的q??1，满足条件并以q为
m1003公比的等比数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式nl?100的正整数l的个数，即[3]．
n343由于5?100，故仅需考虑q?2,3,,4,这些情况，相应的等比数列的个数为
23100100100100100[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20． 827276464当n?m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4．
分必要条件是
综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4)．
2016A四、（本题满分50分）设p与p?2均是素数，p?3，数列?an?定义为a1?2，
?pa?an?an?1??n?1?，n?2,3,?，这里?x?表示不小于实数x的最小整数。
?n?证明：对n?3,4,?,p?1，均有n|(pan?1?1)成立。
★证明：首先注意到，数列?an?是整数数列。对n用数学归纳法。
当n?3时，由条件知a2?2?p，故pa2?1??p?1?，又p与p?2均是素数，且p?3，故
2必须3|p?1，因此3|pa2?1，即n?3时，结论成立。
对3?n?p?1，设k?3,4,?,n?1时结论成立，即k|pak?1?1，此时?k?2k?2?a??1?pa?故pak?1?1?p????1?k?2k?2?k?1???k?1??????故对3?n?p?1时，有
?pak?1?pak?1?1， ??k?k?
??pa???pa??pak?2?1??p?k?1?k?1?1????
pan?1?1??p?n?1??pan?1n?2?1???p?n?1??p?n?2??pan?1n?2n?3n?1n?23显然n|(p?n)(p?2)(pan?1?1)，★
因为n?p，p是素数，故(n,n?p)?(n,p)?1，又p?2是大于n的自然数，故(n,p?2)?1，从而n与(n?p)(p?2)互素，故由★可知n|(pan?1?1)。
由数学归纳法知，对n?3,4,?,p?1，均有n|(pan?1?1)成立。
??p?n?1??p?n?2???p?3??pa2?1??2n(p?1)nCp?n，
(p?n)(p?2)?n??n??n??n???3．这样的n的个数
24612????????为 ．这里?x??x??x?，其中?x?表示不超过x的最大整数． ◆答案：168
2016B 8、设正整数n满足n?2016，且???????????n??n??n??n?13511★解析：由于对任意整数n，有????????????????3,
?2??4??6??12?24612等号成立的充分必要条件是n??1?mod12?，结合1?n?2016知，满足条件的所有正整数为n?12k?1?k?1,2,,168,168个． ?共有
?x??y?★解析：首先注意到，若m为正整数，则对任意整数x,y，若x?y?modm?，则?????.这是因
?m??m?为，当x?y?modm?时，x?y?mt，这里t是一个整数，故
y?y?y??y??x?x?x?y?mt?y?mt?y?????t?t?????????m?m??m??m???m?. mmmmm????????????因此，当整数n1,n2满足n1?n2?mod12?时，
?n1??n1??n1??n1??n2??n2??n2??n2????????????????????????. ?2??4??6??12??2??4??6??12??n??n??n??n?容易验证，当正整数满足1?n?12时，只有当n?11时，等式????????????3才成立．而
?2??4??6??12??n??n??n??n?2016?12?168，故当1?n?2016时，满足????????????3正整数n的个数为168.
?2??4??6??12?
2016B一、（本题满分40分）非负实数x1,x2,?,x2016和实数y1,y2,?,y2016满足：
22（1）xk?yk?1,k?1,2,?,2016；
（2）y1?y2???y2016是奇数． 求x1?x2???x2016的最小值．
★解析：由已知条件（1）可得：xk?1,yk?1,k?1,2,2016k?1,2016,于是（注意xi?0）
?x??xkk?120162k??1?ykk?12016?2??2016??yk?120162k?2016??yk. ①
k?1m2016k?m?12016不妨设y1,m,ym?0,ym?1,,y2016?0,0?m?2016,则?yk?m,?k?12016?yk?2016?m.
若?yk?m?1，并且?k?1k?m?1?yk?2015?m,
14数论1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
