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考研数学《线性代数》考点知识点总结
第一章 行列式 二元线性?a11x?a12y?b1 ?方程组： ?a21x?a22y?b2排列的逆t?序数： nD?a11a12b1，D1?a21a22b2a12a11b1，D2? a22a21b2x?D1D，y?2 DD?ti（ti为排列p1p2?pn中大于pi且排于pi前的元素个数） t?1t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t?0标准排列。 a11n阶行列式： a12?a1na22?a2nt=?(?1)a1p1a2p2?anpn ??an2?anntta21D?det(aij)??an1t为列标排列的逆序数． 定理1： 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数 定理2： n阶行列式可定义为D??(?1)ap11ap22?apnn=?(?1)a1p1a2p2?anpn． 1．D=DT，DT为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变) 2．互换行列式的两行(列)，行列式变号． 记作：ri?rj（ci?cj）?D??D． 推论：两行(列)完全相同的行列式等于零． 记作：ri?rj（ci?cj）?D??D?0． 3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k． 推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面． 记作：kD?ri?k（kD?ci?k）． 记作：kD?ri?k（kD?ci?k）． 4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：rj?ri?k（cj?ci?k）?D?0． 行列式的性质： 5．D?a11a21??i)?a1na12?(a1i?a1?i)?a2na22?(a2i?a2??a11a12?a1i?a1na11a21?D???an1a22?a2i?a2na21?????an2?ani?annan1?i?a1na12?a1?i?a2na22?a2?an2????ann?ani?)?annan1an2?(ani?ani上式为列变换，行变换同样成立． 6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 记作：ci?ci?kcj(ri?ri?krj)，D不变． 注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式． 对角行列式 上D（下DT）三角形行列式 ?1?2?00??1?2??n，0?1?2??(?1)0n(n?1)2a110a22??an2?ann?a11a22?ann ?1?2??n D?a21?an1?n?n 1
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a11?a1k?若对D?a11?a1kD1?det(aij)???ak1?akkb11?b1nD2?det(bij)???bn1?bnn若2n阶行列式D2n?a?， b?abcd?2n?设ak1?akkc11?c1kb11?b1k????ck1?ckkbk1?bkk， ?cd?????????有D2n=(ad-bc)n． 代数余子式： 则有D=D1D2． 余下n-1阶行列式． 余子式： n阶行列式中把aij所在的第i行和第j列去掉后，引理： n阶行列式D中，若第i行所有元素除aij外都为零，则有D?aijAij． 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和． 定理3： (代数余子式性质) Aij?(?1)i?jMij 推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零． ?1,当i?j,?D,当i?j,n?D,当i?j,或?aikAjk?D?ij??其中?ij?? ?akiAkj?D?ij??k?1k?10,0,0,当i?j.当i?j;当i?j;???n1x1范德蒙德Dn?x12行列式： ?x1n?11x22x2?n?1x21x32x3?n?1x3???1xn2＝?(xi?xj)．证明用数学归纳法． xnn?i?j?1?n?1?xn?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,a11?a1n?ax?ax???ax?b,?2112222nn2设方程组?，若D????0，则方程组有惟一解： ???????????an1?ann克拉默法??an1x1?an2x2???annxn?bn则： x1?DD1D???? (j?1,2,?,n)． ,x2?2,?,xn?n，其中Dj??DDDan1?an,j?1bnan,j?1?anna11?a1,j?1b1a1,j?1?a1n定理4： 若上线性方程组的系数行列式D?0，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则D?0． 定理5： 若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式D?0，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则D?0． 第二章 矩阵及其运算 n阶单位矩阵(单位阵)： 对角矩阵(对角阵)： 纯量阵： ?1??0E?????0?0?0??1?0? ????0?1???λ1??0Λ?????0?0?λ2??00??0? ????λn???λ??0?E?????0?0?0??λ?0? ????0?λ??EA?AE?A． 另可记作Λ?diag(?1,?2,?,?n)． (?E)A??A，A(?E)??A． 2
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矩阵与矩阵相乘： 若Α?(aij)是一个m?s矩阵，B?(bij)是一个s?n矩阵，且C?AB，则C?(cij)是一个m?n矩阵，且cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)．若AB?BA，称A与B是可交换的． T矩阵转置： 若Α?(aij)，则Α?(aji) (A?B)T?AT?BT，(AB)T?BTAT 若A?AT，A为对称阵 方阵行列式的运算规律： 1．AT?A； 2．?A??nA； 3．AB?AB，AA?1方阵的行列式： n阶方阵A元素构成的行列式，记A或detA． ?A11??A12*伴随矩阵： A?????A?1nA21?A22?A2nAij为行列式A中对应元素的 An1???An2?代数余子式． ???AA*?A*A?AE ?Ann???1． 逆矩阵： 若AB?BA?E，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的． 定理1： 若矩阵A可逆，则A?0． ?1定理2： 若A?0，则矩阵A可逆，且A?1*A． A奇异矩阵： 当A?0时，A称为奇异矩阵． ?1?1?1运算规律： 1．(A)?A；2．(?A)?矩阵A可逆的充要条件：A?0，即矩阵A是非奇异矩阵。 1?A?1；3．(AB)?1?B?1A?1；4．(AT)?1?(A?1)T． 矩阵A的m次多项式： 多项式可相乘或分解因式 ?(A)?a0E?a1A?a1A2??amAm ?(A)f(A)?f(A)?(A)，kk?1kk?1，则Λk?diag(?1,?k1．若A?PΛP，则A?PΛP， 2．Λ?diag(?1,?2,?,?n)（对角阵）2,?,?n), ?(A)?P?(Λ)P?1． 加减相乘与矩阵相同。 ?(A)?diag(?(?1),?(?2),?,?(?n))． 分块对角矩阵：（其中A以及Ai均为方阵） ?A11?A1r???若A?????， 分块矩阵?A?A?sr??s1的运算规律： TT?A11??A1r??T?? 则A????AT?AT?sr??s1T?α1??T??α???2?， ????αT??m??A1??A????0?A2?10??A1?????1，若，则A?0A????????0As??1A?20??? ????1?As?性质：A?A1A2?As，且Ai?0(i?1,2,?,s)，则A?0． A?(a1,a2,?,an) 列向量： Am?n行向量： αiT?(ai1,ai2,?,ain) ?a1j????a2j?aj??? ????a??mj?ΛmAm?nT??1α1???T??α???22? ?????αT??mm?若AA?0， 则A?0． TAΛn?(?1a1,?2a2,?,?nan) 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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