换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”
教学目标
三、换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
例题精讲
【例 1】 计算：(1?
1111111111?)?(??)?(1???)?(?) 2424624624【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
111111【解析】 令1????a，???b，则：
246246 【答案】
11原式?(a?)?b?a?(b?)
6611?ab?b?ab?a
66111?(a?b)??1? 6661 611111111111111??)?(???)?(1????)?(??) 23423452345234【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
111111【解析】 设a???，则原式化简为：(1+a)(a+)-a(1?a+)=
2345551【答案】
5
【巩固】 (1?【巩固】 计算：
?621739458??739458378??621739458378??739458???????????????????? 126358947358947207126358947207358947????????1-3-5.换元法.题库 page 1 of 6
教师版 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
621739458739458【解析】 令???a；??b，
126358947358947378??378?378621378?原式?a??b????9 ???a???b??a?b??207207207126207????【答案】9
【巩固】 计算：(0.1?0.21?0.321?0.4321)?(0.21?0.321?0.4321?0.54321)?
(0.1?0.21?0.321?0.4321?0.54321)?(0.21?0.321?0.4321)
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设x?0.21?0.321?0.4321，y?0.21?0.321?0.4321?0.54321，
原式?(0.1?x)?y?(0.1?y)?x?0.1?(y?x)?0.054321
【答案】0.054321
【巩固】 计算下面的算式
(7.88?6.77?5.66)?(9.31?10.98?10)?(7.88?6.77?5.66?10)?(9.31?10.98) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令a?7.88?6.77?5.66，b?9.31?10.98，则原式
?a?(b?10)?(a?10)?b?(ab?10a)?(ab?10b)?ab?10a?ab?10b?10?(a?b)
?10?(7.88?6.77?5.66?9.31?10.98)?10?0.02?0.2
【答案】0.2
【巩固】 (1?0.12?0.23)?(0.12?0.23?0.34)?(1?0.12?0.23?0.34)?(0.12?0.23)?____ 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 设0.12?0.23?a，0.12?0.23?0.34?b 原式??1?a??b??1?b??a?b?a?0.34 【答案】0.34
【巩固】 计算：⑴
(1?0.45?0.56)?(0.45?0.56?0.67)?(1?0.45?0.56?0.67)?(0.45?0.56) ⑵
?621739458??739458378??621739458378??739458???????????????????? 126358947358947207126358947207358947????????【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a?0.45?0.56，
b?0.45?0.56?0.67，
有原式?(1?a)?b?(1?b)?a?b?ab?a?ab?b?a?0.67
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教师版 ?621739458??739458?⑵ 设a??????，b???
126358947358947????378??378?378621378?原式?a??b????9 ???a???b?(a?b)?207207207126207????【答案】⑴0.67 ⑵9
573?734??5734??73?【巩固】 计算： (??)???????????????= 。
123217?321713??12321713??3217?【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 设a?57373??、b??，则有 12321732174??4??原式?a??b????a???b13??13??444 ?a?b?(a?b)131313455???131239【答案】
5 39算
：
【例 2】 计
1??111??11??111??1?1??L??????L????1??L??????L??
2200723200822008232007????????【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算
111111【解析】 令a???L?，b???L?，
232007232008 【答案】
原式??1?a??b??1?b??a?b?ab?a?ab?b?a?1 20081 2008?1111??1111??11111??111?【巩固】 ???????????????????????
?11213141??21314151??1121314151??213141?【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
1111111【解析】 设????a，???b，
11213141213141
1??1??原式?a??b????a???b
51??51???ab?11a?ab?b 51511111 (a?b)???5151115611【答案】
561?1-3-5.换元法.题库 page 3 of 6
教师版
1111111111111111【巩固】 计算（???）?(???)?（????)?(??)
5791179111357911137911【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】清华附中
1111111【解析】 设????A，???B，
579117911
1??1??原式?A??B????A???B
13??13???A?B??11A?A?B?B 13131111?A?B???? 13135651【答案】
65
【巩固】 计算
?1111??11111??11111??1111??1??????????????1???????????? ?2345??23456??23456??2345?【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
11111111【解析】 设1?????A，????B
234523451??1?1111?原式?A??B????A???B?A?B??A?A?B??B??A??B
6??6?6666?11??(A?B)? 661【答案】
6
【例 3】 计算：
9??1239?1?129??239??123???L?????L???1???L????L?????????
10??23410?2?2310??3410??2342【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯
11?t1?11239?1?【解析】 设t????L?，则有t2?t??(1?t)?t???t2?t??t2?t????
22?22?223410?2?【答案】
1-3-5.换元法.题库 page 4 of 6
教师版 【例 4】 计算
2?3?1114?L?112009?1?1?3?11114?L?112009
【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设N?3?4?L?1112009. 原式=
12?1N+1?111?1N=
11+
2N?1N1?NN?1NN?1??1. 2N?12N?1【答案】1
=
2??82112??811????811??11??【例 5】 计算：??2?2?????????1????????
8??118?????11??118??811???【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算 11?x?8x2x?88． 【解析】 (法一)设x?，则原式?111????11?1?x????x?2???x??x?88?x2?82112821128112(法二)设x??，那么x?2?2?2，所以2?2?x2?2．
1181181181121?11??8?118?11?1??1??2??2??x??2而????2?2?????． 28118118?1181188x??????88x2?x?2x2?x?2?2?88?88． 这样原式转化为
1x?x?2?1?x??x?2??882在这里需要老师对于?a?b???c?d???a?b??c??a?b??d?ac?bc?ad?bd的计算进行简单的说明. 【答案】88
20102【例 6】 计算：
2009?2011?1【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设a?2009, （a?1)2a2?2a?1原式???1
（aa+2）?1a2?2a?1【答案】1
1-3-5.换元法.题库 page 5 of 6
教师版
小学奥数：换元法.专项练习及答案解析
