类型5 探究角度数量关系的存在性问题
2
1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．
(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；
(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．
解：(1)设直线AB与y轴交于点E，
∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1. 1
∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1.
2
∴A(－1，1)，B(1，1)．
2
把x＝1，y＝1代入y＝ax，得a＝1，
2
∴抛物线的解析式为y＝x，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1. (2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°.
∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴
AMOM
＝，即OM·ON＝AM·BN. ONBN
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
2
∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x图象上，
2222
∴yA＝xA，yB＝xB.∴－xA·xB＝yA·yB＝xA·xB. ∴xA·xB＝－1为常数．
22
(3)设A(m，m)，B(n，n)，由(2)可知mn＝－1.
??y＝kx＋b，2
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立?得x－kx－b＝0. 2
?y＝x，?
∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1.
∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1.
易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3. ∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.
设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3.
222
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG＋GD＝PD，
122222
即(－a)＋(－2a－3)＝3，整理得5a＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
51214
当a＝－时，－2a－2＝，
55
1214∴P(－，)．
55
422
2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x＋bx＋c经过点A，
33交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，
设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
解：(1)由直线y＝－4
3x＋n过点C(0，4)，得n＝4，
∴y＝－4
3
x＋4.
当y＝0时，0＝－4
3x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．
∵抛物线y＝23x2
＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．
?∴??0＝23×32＋3b＋c，?∴?b4??
＝－3， ?－2＝c.??c＝－2.∴抛物线的解析式为y＝23x2－4
3x－2.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，23m2－4
3m－2)，D(m，－2)．
若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD. ①当点P在直线BD上方时，PD＝224
3m－3m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m. ∴223m－4
3
m＝－m， ∴m)，m1
1＝0(舍去2＝2
(舍去)．
(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m. ∴23m2－43m＝m，∴m)，m73＝0(舍去4＝2
. ②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－2243m＋3m.
∴－23m2＋41
3m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝2
.
71
综上，m＝或.
22
71
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或. 22(3)P1(－5，
45＋4－45＋4
)，P2(5，)， 33
2511
P3(，)． 832
【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4， 43
∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝. 55
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
32244
如图1，ND′－MD′＝2，即(m－m)－(－m)＝2.
533532244
如图2，ND′＋MD′＝2，即(m－m)＋m＝2.
5335∴P1(－5，
45＋4－45＋4
)，P2(5，)； 33
图1 图2 图3
②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长
线于点N，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′. 42243
∵P′N＝BM，即(m－m)＝m.
53352511
∴P3(，)．
832
题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题
