【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-3 函数与导数的综合应用

专题3.3 函数与导数的综合应用（精测）

1．(2020·四川成都模拟)已知函数f(x)＝e2x－2aex－2ax，其中a>0. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数f(x)有唯一零点，求a的值．

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝e2x－2ex－2x，∴f′(x)＝2e2x－2ex－2，∴f′(0)＝2e0－2e0－2＝－2. 又f(0)＝e0－2e0－0＝－1，

∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－1)＝－2x，即2x＋y＋1＝0. (2)由题意得f′(x)＝2e2x－2aex－2a＝2(e2x－aex－a)． 令t＝ex∈(0，＋∞)，则g(t)＝2(t2－at－a)．

设t2－at－a＝0的解为t1，t2则t1＋t2＝a，t1t2＝－a，又∵a>0，∴函数y＝g(t)在(0，＋∞)上仅有一个零点． ∴存在t0∈(0，＋∞)，使得g(t0)＝0， 即存在x0满足t0＝ex0时，f′(x0)＝0.

∴当t∈(0，t0)，即x∈(－∞，x0)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，x0)上单调递减；当t∈(t0，＋∞)，即x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．

又当x→－∞时，e2x－2aex→0，－2ax→＋∞，∴f(x)→＋∞；

当x>0时，ex>x，∴f(x)＝e2x－2aex－2ax>e2x－2aex－2aex＝ex(ex－4a)， ∵当x→＋∞时，ex(ex－4a)→＋∞，∴f(x)→＋∞.

∴函数f(x)有唯一零点时，必有f(x0)＝e2x0－2aex0－2ax0＝0.① 又e2x0－aex0－a＝0，②

由①②消去a，得ex0＋2x0－1＝0.

令h(x)＝ex＋2x－1，∵h′(x)＝ex＋2>0，∴h(x)单调递增． 又h(0)＝0，∴方程ex0＋2x0－1＝0有唯一解x＝0.

11将x＝0代入e2x0－aex0－a＝0，解得a＝，∴当函数f(x)有唯一零点时，a为. 2211

a＋?ln x＋－x(a>0)． 2.(2020·广西桂林市联考)已知函数f(x)＝??a?x1

(1)若a＝，求f(x)的极值点；

2

(2)若曲线y＝f(x)上总存在不同的两点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，使得曲线y＝f(x)在P，Q两点处的切线平行，求证：x1＋x2>2.

【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，

111

a＋?·－2－1(a>0)． f′(x)＝??a?xx

1??11?（x－2）（2x－1）1

－2－＝－(1)当a＝时，f′(x)＝－?， ?x??x2?22x21

令f′(x)<0，得02；

21

令f′(x)>0，得

2

11

0，?，(2，＋∞)上单调递减，在?，2?上单调递增， ∴f(x)在??2??2?1

∴x＝是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点．

2

111111

a＋?·－2－1＝?a＋?·－2－1(x1≠x2)， (2)证明：由题意知，f′(x1)＝f′(x2)，即??a?x1x1?a?x2x2111x1＋x2

∴a＋＝＋＝.

ax1x2x1x2∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，

（x1＋x2）2

∴x1＋x2>2x1x2，则有x1x2<，

4

?4?1x1＋x24

∴a＋＝>，∴x1＋x2>?1?.

ax1x2x1＋x2a＋max

?a??4?∵a>0，∴≤2(当且仅当a＝1时取等号)，∴x1＋x2>?1?＝2.

1a＋max

?a?a＋

4a

1

3．(2020·云南昆明市高三诊断)已知函数f(x)＝2ln x－x＋. x(1)求f(x)的单调区间；

a－ba＋b

(2)若a>0，b>0，且a≠b，证明：ab<<.

ln a－ln b2【解析】(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 21－x2＋2x－1－（x－1）2

f′(x)＝－1－2＝＝≤0.

xxx2x2

所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间． (2)设a>b>0，则

a－ba－baab

－?2ln baba>1，所以f?b?

a－b

a1＋<0. bab

由(1)知，f(x)是(0，＋∞)上的减函数，又即f?

a?＝2lnb?a－b

a1＋<0， bab

a?

?

a－b

所以ab<.

ln a－ln b又

a－ba＋b2（a－b）

?

ln a－ln b2a＋b

a?

－12?a?b?

ln >. ba

＋1b

2（x－1）（x－1）2

令g(x)＝ln x－，则g′(x)＝，

x＋1x（x＋1）2

当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0，即g(x)是(0，＋∞)上的增函数．

a?

－12?a?a－ba＋baa?b??因为>1，所以g?b?>g(1)＝0，所以ln >，从而<. bbaln a－ln b2

＋1ba－ba＋b

综上所述，当a>0，b>0，且a≠b时，ab<<.

ln a－ln b24．(2020·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

1?(2)若存在x∈? ?e，e?(e是自然对数的底数，e＝2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)由题意知f′(x)＝ln x＋1， 1

0，?时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减； 当x∈??e?1?当x∈??e，＋∞?时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增． 1

当0

e

1?111

当0

当时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增， ee故f(x)min＝f(t)＝tln t.

所以f(x)min

?－e，0

1

?tln t，t>e.11

3

(2)由题意，知2xln x≥－x2＋ax－3，即a≤2ln x＋x＋，

x3

令h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，

x

23（x＋3）（x－1）

则h′(x)＝＋1－2＝，

xxx2