选修4－1 几何证明选讲
第1课时 相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)178～180页)
应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．
1. 如图，△ABC中， DE∥BC, DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的长．
① 理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题. ② 了解直角三角形的射影定理．
DEAE63解：＝＝BC＝10，∴ BF＝10－6＝4.
BCACBC5
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，求DE与BC的长度比．
DEAD42
解：因为DE∥BC，所以＝＝＝.
BCAB63
3. 已知a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c交于点A、B、C和点A′、B′、C′，
3
如果AB＝BC＝1，A′B′＝，求A′C′的长．
2
解：∵ AB＝BC，
3
∴ 由平行线等分线段定理，知B′C′＝A′B′＝，
2
33
∴ A′C′＝A′B′＋B′C′＝＋＝3.
22
4. 如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F.写出图中所有与△ACE相似的三角形．
解：由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各有一个公共锐角，因而它们相似． 又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.
则图中所有与△ACE相似的三角形有△FCD，△FBE，△ABD.
5. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，求AD的长．
22
解：由射影定理，得AB＝BD·BC，AC＝CD·BC，
2222
即mcosα＝BD·m，msinα＝CD·m，
22
即BD＝mcosα，CD＝msinα.
2222
∵ AD＝BD·DC＝mcosαsinα， ∴ AD＝mcos αsin α.
1. 平行截割定理
(1) 平行线等分线段定理及其推论 ① 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
② 推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论
① 定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ② 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．
(3) 三角形角平分线的性质
三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形
(1) 相似三角形的判定 ① 判定定理
a. 两角对应相等的两个三角形相似．
b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． c. 三边对应成比例的两个三角形相似． ② 推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③ 直角三角形相似的特殊判定．
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2) 相似三角形的性质
相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (3) 直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．
[备课札记]
题型1 平行线分线段成比例问题
, 1) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，
求证：ED＝EC.
证明： 如图，过E点作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴ AD∥EF∥BC. ∵ E是AB的中点，∴ F是DC的中点． ∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DFE＝90°. ∴ EF是DC的垂直平分线，∴ ED＝EC.
备选变式（教师专享）
如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.
证明：∵ AM∥EN，
∴ AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC. ∵ MB＝MC，∴ AD∶AB＝AE∶AC.
题型2 三角形相似的证明与应用
, 2) 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC
的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：
(1) △ABC≌△DCB； (2) DE·DC＝AE·BD.
证明：(1) ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，∴ AC＝DB. ∵ AB＝DC，BC＝CB，∴ △ABC≌△BCD. (2) ∵ △ABC≌△BCD，
∴ ∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB， ∵ AD∥BC，
∴ ∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∵ ED∥AC，∴ ∠EDA＝∠DAC， ∴ ∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB. ∴ △ADE∽△CBD.
∴ DE∶BD＝AE∶CD， ∴ DE·DC＝AE·BD. 变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝15，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，求sin∠CAD的值．
解：在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝15，AB＝15＋9＝26.
BCAB326
易证得△ABC∽△DBE，∴ ＝＝，
BEDB6BD∴ BD＝4
CD＝1，AD＝4，
CD1
∴ sin∠CAD＝＝.
AD4
题型3 射影定理的应用
, 3) 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE
3
⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：AE·BF·AB＝CD.
422
证明：∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴ CD＝AD·BD，故CD＝AD·BD.又在Rt△ADC中，
224
DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，∴ AD＝AE·AC，BD＝BF·BC.∴ CD＝AE·BF·AC·BC.∵ AC·BC
43
＝AB·CD，∴ CD＝AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB＝CD.
备选变式（教师专享）
如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，DFAE求证：＝.
AFEC
2
证明：由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，
DFBD
在△ABD中，＝，①
AFABAEAB
在△ABC中，＝，②
ECBC
BDAB2
在Rt△ABC中，由射影定理知，AB＝BD·BC，即＝.③
ABBC
DFAB
由①③得＝，④
AFBCDFAE
由②④得＝.
AFEC
a
1. 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为
2
线段AB、AD的中点，求EF的长．
高考数学一轮总复习 几何证明选讲课堂过关 理(选修41)
