如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1
重叠部分的面变量t的取值
动感体验
请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形
思路点拨
1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中． 2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．
3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，tan?BAC?BC233??， AB63所以∠BAC＝30°．
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时， 在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23， 所
以
BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝
1． 图2
（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，S?23t?43． ②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，S??3t?43t?33． ③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，S??43t?203． ④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，S?23(t?6)2．
图3 图4 图5
（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO． 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．
△AEH的形状保持不变，AH＝3AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．
图6 图7 图8
①当AO＝AH时，解3(3?t)?3，得t?3?3（如图7）； 解3(t?3)?3，得t?3?3（如图8）．
②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝3AH＝3AE．
解3(3?t)?3，得t＝2（如图10）；解3(t?3)?3，得t＝4（如图11）．
图9 图10 图11
考点伸展
图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．
中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题
