中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题

由面积产生的函数关系问题

例1 2013年菏泽市中考第21题

如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y??轴的交点，点B在二次函数y?构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，由PQ⊥AC

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小此时四边形PDCQ的面积是多少

3x?3的图像与y轴、x412x?bx?c的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能8

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．

思路点拨

1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．

2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来． 3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．

满分解答

（1）由y??由于

3x?3，得A(0,3)，C(4,0)． 4关于

B、COA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为

ADy??2?4b?c?0,121b??x?bx?c?48?8?8b?c?3.114y?x2?x?3845AQ4?AP55?t4?t5AP?t?259111333AP?QH?AP?AQsin?PAQ?t(5?t)???t2?t222510211AD?OA??8?3?122212?(?3233581581AP4t420t?t)?(t?)2??t??9102102828AQ55?t5y?123x?x?922181AB?OC?22y?1231x?x?9?(x?3)(x?6)222s?S?ADE?(S?ADEAE2?()S?ACBABS?ACB?AE2m811)?S?ACB?()2??m2AB922S?CDECD9?m??S?ADEADmS?CDE?9?m12191981?m??m2?m??(m?)2?m222228CDBE9?m??ADAEm9819m?BE?282sinB?3313?131393132713EH?BE?sinB???21326r?EHS??r2?729?52cos?ABC?5131111168mxnxmx?nx?84m?n?2222xBG?565656565555NE?33AE?(2?t)440＜t≤666EF?2tS?4t2＜t≤EF?EH?2t111153113NH?EH?NE?2t?(2?t)?t?442AE?2?tS△NHQ1142?NH?QH?NH?NH?NH222332?113???t??3?42?22?113?25113S?4t??t????t2?t?3?42?2422226＜t≤25EF?4AE?t?2AF?t?2S?S△AFM?S△AEN?33AF2?AE2?3t88110275t?14625AE?2?t