河南豫升（云飞）专升本高数教材 第三章导数应用知识点详解（二）
IV、利用洛必达法则求极限
（一）“
0?”型或“”型求极限 0?0?（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“”型或“”型，如果0?sinx不是则不能使用洛必达法则．例如：lim就不能运用洛必达法则，直接代?xx?2sinsinx2?2． ?入求极限即可，故lim??x?x?22（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式?0?仍然是“”型或“”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推． 0?（3）洛必达法则是求“0?”型或“”型未定式极限的一种有效方法，但最好0?能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求tanx?x时，可先用x~tanx进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法lim2x?0xtanx则，故 tanx?xtanx?xsec2x?1tan2x1lim2?lim?lim?lim?． 322x?0xtanxx?0x?0x?0x3x3x3（4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求
lnsin2xlimx?0?lnsin3x
时，
x?0lim?lnsin2xsin3x?cos2x?22sin3x2?3x?lim?lim?lim?1，从???lnsin3xx?0sin2x?cos3x?3x?03sin2xx?03?2x第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x当
x?0?时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．
（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当f?(x)f(x)lim不存在时（等于无穷大的情况除外），lim仍可能存在．例如：F?(x)F(x)x?sinx(x?sinx)?1?cosx极限lim，lim?lim?lim(1?cosx) 极限x??x??x??x??xx?1是
不
存
在
的
，但是原极限是存在的，x?sixnlim?x??xxsxinl?im(?1???xxx?)x?sin．1? ?li?m10（二）其他常见类型的极限问题 0?除了“”型或“”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0??”、0?“???”、“1”、“0”及“?”型等．对于“0??”和“???”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“0?000??0”或“”型；对于“1”、“0”及0?“?”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0??”型，然后再转化成“0?”型或“”型未定式． 0?x3?3x?2例1 求 lim3．
x?1x?x2?x?1解：该极限为x?1时的“
0”型未定式，由洛必达法则可得 03x2?36x3?lim?原式?lim．
x?13x2?2x?1x?16x?22
例2 求
x?0lim?lnsin2x．
lnsin3x?解：该极限为x?0时的“
?”型未定式，由洛必达法则可得 ?1?cos2x?22sin3x2?3xsin2x?lim?lim?lim?1． 原式???x?01x?03sin2xx?03?2x?cos3x?3sin3x例3 求
x?0x． limx?解：该极限为x?0时的“0”型未定式，解决方法为取对数化为“0?ln0”?00型，进而化为“”型，故
0xlnxx?0?原式?x?0lime??elimxlnx?elnxx?0?xlim?e1limx1x?0??x2?ex?0?lim(?x)?e0?1． V、求函数的单调区间及极值
（一）单调区间的求法：设函数f(x)在定义区间上连续，除去有限个导数
f(x)的单调性的步骤如下：
不存在的点外导数存在且连续，则求函数（1）求出函数（2）求出函数f(x)的定义域；
f(x)的导数f?(x)，并令f?(x)?0求出函数的驻点；此外，再
； f?(x)分母为零的点）
找出导数不存在的点（一般是使得（3）用函数f(x)的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后
用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．
（二）函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果
f(x0)是函数f(x)的
f(x)的一个最大
一个极大值，那只是就x0附近的一个局部范围来说，f(x0)是值，如果就
f(x)的整个定义域来说，f(x0)不见得是最大值．关于极小值也类
似．
（1）极值的必要条件：设函数么
f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那
f?(x0)?0．
f(x)的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数
(x)?x3的导数f?(x)?3x2，f?(0)?0，说明：这也就是说，可导函数
的驻点却不一定是极值点．例如，f因此x?0是这函数的驻点，但x?0却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数
f(x)?x在点x?0处不可导，但函数在该点取得极小值．
（2）求极值的步骤：设函数
f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： ①求出导数③考查
f?(x)；②求出f(x)的全部驻点与不可导点；
以确定该点是否f?(x)的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； ④求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值．
f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区
f(x)在闭区间[a,b]（三）闭区间上最值的求法步骤：设函数间(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求上的最值的步骤如下：（1）求出
f(x)在(a,b)内的驻点x1，x2，?，xm 及
，f(xj?)f(xi)（i?1,2,?,m）
不可导点x1?，x2?，?，xn?；（2）计算（j?1,2,?,n）及 f(a)，f(b)；
（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是小的便是
f(x)在[a,b]上的最大值，最
f(x)在[a,b]上的最小值．
f(x)确有最大
说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数
值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果有一个驻点x0，那么不必讨论或最小值．
f(x)在定义区间内部只
f(x0)是不是极值，就可以断定f(x0)是最大值
例1 求函数f(x)?2x?9x?12x?3的单调区间． 解：因 f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)， 令 用
32f?(x)?0，得x1?1，x2?2． x1，x2将函数的定义域(??,??)分成三个区间(??,1)，(1,2)，(2,??)，其讨论结果如下表所示： x (??,1)(1,2) ?1]?,(??↘ (2,??)(??? ,?1]↗ ,? 1]?f?(x) (??f(x) ↗ 由上表可得，函数的单调递增区间为(??,1]和[2,??)，单调递减区间为[1,2]．
32例2 求函数f(x)?x?x3的极值．
2解：函数的定义域为(??,??)，且有令f?(x)?1?x?13x?1， ?3x3f?(x)?0，得驻点x?1，当x?0时f?(x)不存在，驻点x?1以及不可导
点x?0将定义域分成三个区间，列表讨论如下：
河南豫升（云飞）专升本高数教材第三章导数应用知识点详解（二）
