§3.1 导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 导数的概念和运算是高考的3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，必考内容，一般渗透在导数y＝x3，y＝1，y＝x的导数. x的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度. 考情考向分析 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
1．平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)f?x0＋Δx?－f?x0?Δy－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝，称作函数y＝f(x)在区间[x0，
ΔxΔxx0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δlim x→0的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝Δlim x→0(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)． 4．基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a>0，a≠1) y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn1，n为正整数 y′＝μxμ1，μ为有理数 y′＝axln a －－f?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝Δlim 为函数y＝f(x)在x＝x0处Δxx→0Δx
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝Δlim . Δxx→0Δx
y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝sin x y＝cos x
5.导数的四则运算法则 设f(x)，g(x)是可导的，则 (1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
f?x??g?x?f′?x?－f?x?g′?x?
′＝(g(x)≠0)． ?g?x??g2?x?
1y′＝ xln ay′＝cos x y′＝－sin x 6．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．
2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (3)(2x)′＝x·2x1.( × )
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( × )
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题组二 教材改编
2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 答案 2e
解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 3．曲线y＝1－
2
x＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为____________． 答案 2x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝2
?x＋2?2，∴y′|x＝－1＝2.
∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(
)
2020年高考数学复习讲义一遍过13第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算(解析版)
