人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：
① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接
开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.
（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可
以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数
的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1） 把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数；
⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个
根为x=
?b?b2a2?4ac，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，
我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△
=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求
两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤：
① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名 理论依据 称 适用范围 直接开平平方根的意形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 所有一元二次方程 所有一元二次方程 方法 义 配方法 公式法 因式分解法 完全平方公式 配方法 当ab=0，则a=0一边为0，另一边易于分解或b=0 成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，?,x1x2= 22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间
的等量关系。
（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等
含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题
baca三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1?x）2=b。 （3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质
（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax2（a?0）. 3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
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