课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
sin Acos B1．在△ABC中，若＝，则B的大小为( )
abA．30° B．45° C．60°
D．90°
B＝cos B，∴B＝45°.
sin Acos B解析：选B 由正弦定理知，＝，∴sin
sin Asin B2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解
解析：选C 由正弦定理得
32
B．有两解
D．有解但解的个数不确定
＝， sin Bsin Cbc∴sinB＝
bsin C＝c40×20
＝3>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，
bc＝2，则△ABC的面积为( )
1A. 2C．1
1B. 4D．2
12
解析：选A 由cos 2A＝sin A，得1－2sinA＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由
2
bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
22
4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△
3
ABC12121122
＝22，则b的值为( ) A．6 C．2
B．3 D．2或3
1
解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝22，
2所以bc＝6，
1 / 7
22
又因为sin A＝，
31
所以cos A＝，又a＝3，
3
由余弦定理得9＝b＋c－2bccos A＝b＋c－4，b＋c＝13，可得b＝2或b＝3. 5．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为( ) A.C.π
62π 3
B.D.π 35π 6
2
2
2
2
2
2
a2＋b2－c2a2＋c2－b2
解析：选C 由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a2ab2ac＝0，
12π
∴cos A＝－，A＝.
23
6．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b C．A＝2B
B．b＝2a D．B＝2A
解析：选A 由题意可知sinB＋2sinBcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sinBcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sinB＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
7．在△ABC中，AB＝6，A＝75°，B＝45°，则AC＝________. 解析：C＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得＝， sin Csin B即
6AC＝，解得AC＝2.
sin 60°sin 45°
ABAC答案：2
π2
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，bsin C＝42sin B，
4则△ABC的面积为________．
解析：因为bsin C＝42sinB， 所以bc＝42b，所以bc＝42，
2
2
S△ABC＝bcsin A＝×42×
答案：2
12122
＝2. 2
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1
9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝
42sinB，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sinB，∴3a＝2b. 又a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c＝a＋b－2abcos C，
2
2
2
?1?222
∴c＝2＋3－2×2×3×?－?＝16，
?4?
∴c＝4. 答案：4
7
10．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，
8则a＝________.
7222
解析：由余弦定理可知，a＝b＋c－2bccos A?a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)·?a8＝2.
答案：2
B级——中档题目练通抓牢
sin C522
1．在△ABC中，若＝3，b－a＝ac，则cos
sin A21
A. 31C. 5
1B. 21D. 4
B的值为( )
5222
解析：选D 由题意知，c＝3a，b－a＝ac＝c－2accos B，所以cos B＝
21522
9a－a21
＝＝. 2
6a4
c2－ac2ac5
2
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 C．等腰三角形
B．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
a2＋b2－c2
解析：选C 法一：由余弦定理可得a＝2b·，
2ab因此a＝a＋b－c，得b＝c，于是b＝c，
2
2
2
2
2
2
3 / 7
从而△ABC为等腰三角形．
法二：由正弦定理可得sin A＝2sinBcos C， 因此sin(B＋C)＝2sinBcos C，
即sinBcos C＋cosBsin C＝2sinBcos C， 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形．
3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin
A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )
A.C.π 12π 4
B.D.π 6π 3
解析：选B 因为sinB＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 因为A∈(0，π)，所以A＝
3π， 4
2×222
由正弦定理得sin C＝
c·sin A＝a1＝， 2
ππ
又0＜C＜，所以C＝.
46
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
解析：因为sin A，sinB，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦92
c＋c2－4c2
3b＋c－a41
定理得a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－. 22bc324
2×c2
2
2
2
1
答案：－
4
5．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________． 解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos∠BAC，即28＝16＋
2
2
2
BDCD4 / 7
AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2舍去)，则cos∠ABC＝
28＋36－1627
＝，BD＝AB·cos∠ABC72×27×6
2712712727BD＝6×＝，CD＝BC－BD＝27－＝，所以＝6.
7777CD答案：6
6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsin A＝3.
(1)求tanB及边长a的值；
(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长． 解：(1)在△ABC中，acosB＝4，bsin A＝3， 两式相除，有bsin Asin Bsin A3
＝＝tan B＝，
acos Bsin Acos B4
sin B322
由sinB＋cosB＝1，＝，
cos B4
4
得cosB＝，又因为acosB＝4，所以a＝5.
53
(2)由(1)知，sinB＝，
5
113
由S＝acsinB＝×5×c＝9，得c＝6.
225
4222
由b＝a＋c－2accosB＝25＋36－2×5×6×＝13，
5得b＝13.
故△ABC的周长为11＋13.
7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos
A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 2π解：(1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝.
32π2
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c－4ccos ，
3即c＋2c－24＝0. 解得c＝4(负值舍去)． π
(2)由题设可得∠CAD＝，
2
2
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高考数学一轮复习课时跟踪检测正弦定理和余弦定理理
