2019-2020年高考数学二轮复习大题规范练10“17题～19题”＋
“二选一”46分练文
解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
x2y22
20．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径ab2
的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程；
→→25
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，且|OA－OB|＜，求直线斜率3的取值范围.
【导学号：04024248】
c2c2a2－b212
解：(1)由题意知e＝＝，所以e＝2＝2＝，
a2aa2
即a＝2b. 又因为b＝
＝1，所以a＝2，b＝1.
1＋12
2
2
2
2
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2(2)由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2
2
y＝kx－，??2由?x2
＋y＝1，??2
得(1＋2k)x－8kx＋8k－2＝0，
2222
14222
则Δ＝64k－4(2k＋1)(8k－2)＞0，得k＜，
28k8k－2
x1＋x2＝2，x1·x2＝2.
1＋2k1＋2k25→→252因为|OA－OB|＜，所以1＋k|x1－x2|＜，
332022
所以(1＋k)[(x1＋x2)－4x1·x2]＜，
9
2
2
?所以(1＋k)??
2
64k2
＋2k4
8k－2?20
， 2－4·2＜
1＋2k??9
2
1222
所以(4k－1)(14k＋13)>0，所以k＞. 4
1211221所以＜k＜，所以＜k＜或－＜k＜－，
422222所以直线斜率的取值范围为?－
x?
?21??12?，－?∪?，?. 22??22?
21．已知函数f(x)＝e－ax(x∈R)．
(1)当a＝1时，求证：f(x)≥1；
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，求a的取值范围； (3)在(2)的条件下，求证：x1＋x2＞2.
【导学号：04024249】
解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝e－x，f′(x)＝e－1＝e－e. 当x>0时，有f′(x)>0；当x<0时，有f′(x)<0.
所以f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)≥f(x)min＝f(0)＝1.
(2)由f(x)＝e－ax，得f′(x)＝e－a. 当－a≥0，即a≤0时，f(x)是R上的增函数， 函数f(x)最多有一个零点，不符合题意，所以a>0. 当a>0时，f′(x)＝e－a＝e－e
xxln axxx0
xx，
当x>ln a时，有f′(x)>0；当x 所以f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，在(ln a，＋∞)上为增函数， 所以f(x)min＝f(ln a)＝e ln a－aln a＝a－aln a， 因为函数f(x)有两个零点x1和x2(x1 由ex1＝ax1，ex2＝ax2，得x1＝ln a＋ln x1，x2＝ln a＋ln x2， 所以x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln . ln tx＝??t－1，解得?tln tx＝??t－1. 12 x2 x1 ??x2＝tx1，x2 所以＝t(t＞1)，则? x1??x2－x1＝ln t， ln ttln tt＋所以x1＋x2＝＋＝t－1t－1t－1设h(t)＝ln t－ t. 22 t－ t＋1t－ ，则h′(t)＝ tt＋ ，又t＞1，所以h′(t)＞0， 于是h(t)是(1，＋∞)上的增函数， 所以当t>1时，h(t)>h(1)＝0，即ln t－所以x1＋x2＞2. t－t＋1 ＞0，所以 t＋t－1 t＞2，
2019-2020年高考数学二轮复习大题规范练10“17题～19题”+“二选一”46分练文
