第9章（之1） （总第44次）
教学内容:§微分方程基本概念
*1． 微分方程2(y??)?9y?y????5xy的阶数是 （ ） （A）3； （B）4； （C）6； （D）7． 答案（A）
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．
*2． 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y???4y?0的通解的函数是 （ ） （A）y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x； （B）y?Ccos2x(1??sin2x)； （C）y?kCcos2x?1?k2C2sin2x； （D）y?Ccos(2x??)． 答案 （D）
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A）中的函数只有一个任意常数C；
（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；
（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令C?kC时，函数就变成了
37y?Ccos2x?1?Csin2x，实质上只有一个任意常数；
（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．
*3．在曲线族 y?c1e?c2ex?x2中，求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线．
解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1， 由y?c1e?c2e故c1?
x?x， y??c1e?c2ex?x，可得c1?c2?0,c1?c2?1，
111,c2??，这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x)，即y?sinhx． 222?d2ydy1??x23?dx2?dx?y?023esinx是初值问题?*4．证明：函数y?的解．
dy32?yx?0?0,x?0?1?dx??x3?2x33esinx?e2cosx， 证明 y???32211?x3?2x33y????esinx?e2cosx，
32211代入方程得 y???y??y?0， 此外
1 y(0)?0，y?(0)?1，?x233e2sinx是初始值问题的解． 故y?32
x?xxtx*5．验证y?e?edt?Ce（其中C为任意常数）是方程y??y?e的通解．
x220证明 y??ex?x0etdt?ex?ex?Cex?y?ex?x， 即 y??y?ex?x，说明函数确实
x2222给定方程的解．
另一方面函数y?ex?0etdt?Cex含有一任意常数C，所以它是方程的通解．
2 **6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）y?3Cx?1；
2解 将等式y?3Cx?1改写为y?Cx?1，再在其两边同时对x求导，得3yy??C，
3代入上式，即可得到所求之微分方程为3xyy??y?1． （2）y?C1x?23C2． x解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得
y??C1?C22C2??y?，． 23xx从以上三个式子中消去任意常数C1和C2，即可得到所求之微分方程为
x2y???xy??y?0．
**7．建立共焦抛物线族y?4C(x?C)（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．
解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C，从这两式中消去常数所求方程为y?y?(2x?yy?)．
22**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线y?y(x)上任一点处的法线都经过坐标原点．
解 任取y?y(x)上的点 (x,y)，曲线在该点处的切线斜率为 y?=所以过点(x,y)的法线斜率为
dy． dx?1?1， 法线方程为Y?y=(X?x)， y?y??1(0?x)从而可得所求微分方程为x?yy??0． y?因为法线过原点，所以0?y?
第9章（之2）（总第45次）
教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； § .2一阶线性方程
**1．求下列微分方程的通解：
（1）y??x(1?y)；
1?x2dyxdxdyxdx??，两边积分?1?y?1?x2， 1?y1?x2C1． ln(1?x2)?lnC，即y?1?221?x解： 分离变量
得?ln(1?y)?（2）y??x2x?y2e； 2y2解：分离变量2yeydy?xe2xdx，两边积分就得到了通解
2111ey?(xe2x?e2xdx)?(xe2x?e2x)?c．
222
?
（3）(2x?1)eyy??2ey?4?0．
eydydx??解： y，
2x?12e?4y111ln(ey?2)??ln(2x?1)?lnC， 222即 (e?2)(2x?1)?C．
**2．试用两种不同的解法求微分方程y??1?x?y?xy的通解．
解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，y??(1?x)(1?y)，
dydy?(1?x)dx，并积分 ??(1?x)dx 1?y1?y?1x2?x12得?ln(1?y)?x?x?c，所求通解为 y?1?ce2．
2解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为y??(1?x)y?1?x，这是一个一阶线性非齐次方程．
对应的齐次方程为y??(1?x)y?0，其通解为○1y?Ce代入原非齐次方程得Ce方程的通解
112x?x2．
?12x?x2?1?x，解得○2C?ex2?x1x?x22?C，○2代入○1即可得原
y?1?Ce
*3．求解下列初值问题：
2．
1（1）y??，y()??e6．
21?x2解：?y?=
y?y1?x2，?dydxdy??? (y?0)， ?2yy1?xdx1?x2，
?lny?arcsinx?C， ? y?Cearcsinx，
arcsin1arcsinx??2?y()??e，??e?Ce，?C??1， ? y??e．
2661
（2）y??2xy?e?x，y(0)?1；
解: ?y??2xy?e?x， ?p(x)?2x，q(x)?e?x，
?2xdx222 ?y(x)?e?
?e?x2e?2xdxdx?C??e?x2?e?x2e?2xdxdx?C??xe?x2?Ce?x2， ??????????2 ? y(0)?1， ?1?0?c?c?1， ?y?(x?1)e?x．
（3）y??ycotx?ecosx，y()?1；
?2 解： ? y??ycotx?ecosx， ?P(x)?cotx，Q(x)?ecosx．
?cotxdx?cotxdxC?ecosxe?dx? ?e?lnsinx(C?ecosxelnsinxdx) ? y?e???????
?cscx(C?ecosxsinxdx)?(C?e?cosx)cscx，
由y()?1， 可确定 C?2，所以
?2y?(2?ecosx)cscx．
（4）xdy?(2xy?x?1)dx?0，y解： 方程变形为 y??
2211?xdx??xdx?y?edx? ?c?(?2)exx???2x?1?0．
211y??2，是一阶线性非齐次方程，其通解为 xxx? ?1x2112?1?c?(?2)xdx??2?xx??x?12c11??c?x?x??? 2??22x??x由 y(1)?0， 得 c?
1111， 所以特解为：y???． 222x2x**4．求微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 的通解（提示将x看作是y的函数）． 解：将x看作是y的函数，原方程可化为
dx11?x?，这是一阶线性方程，将其中dyylnyyP(y)?11, Q(y)?代入一阶线性方程求解公式，得通解 ylnyy?11???ylnydy?1?ylnydy?1dy? ?e?ln(lny)?c??eln(lny)dy? x?e?c??eyy?????? ?
1?lny?c1c?dy ???lny2lny． ?lny?y??
华东理工大学高等数学第9章作业答案
